Элементы математического аппарата механики сплошной среды

Курс представляет собой целенаправленное изложение основных элементов математического аппарата классической механики сплошной среды. В курсе представлены общие сведения из теории множеств и их отображений, систем множеств, подходы к понятиям меры, заряда, векторной меры, интеграла Лебега, основные сведения об алгебраических системах, топологических и метрических пространствах, линейных нормированных и евклидовых пространствах. Излагаются элементы работы с векторами, с тензорами второго ранга на евклидовом пространстве. На основе тензорного произведения векторных пространств определены тензоры произвольных рангов, типы тензоров, полиадные базисы, операции с тензорами различных типов. Для тензоров на евклидовом векторном пространстве рассмотрены основные операции, последовательные и параллельные свертки, показана евклидовость пространств тензоров, структура их линейных отображений. Рассмотрены некоторые тензоры-константы второго, третьего и четвертого рангов, определена коаксиальность векторов и тензоров второго ранга. Специальное внимание уделено тензорным функциям тензорных аргументов и их дифференцированию, включая производные по направлению, дифференцирование произведений и сверток, сложное дифференцирование, производные композиции отображений линейных пространств, дифференцирование обратных отображений, дифференцирование в подпространствах. Рассматриваются производные скалярных инвариантов, потенциальные зависимости векторов и тензоров. Важный элемент курса составляют аффинные пространства, поля, градиенты полей. Рассмотрены формулы дифференцирования, дифференциальные операторы, дифференцирование полей с аргументами и значениями в арифметических пространствах. Введены системы координат, естественный и взаимный базисы, вычислены градиенты базисных векторов, введены символы Кристоффеля и построены ковариантные производные векторных и тензорных полей. Рассматриваются кривые, поверхности и области в аффинном пространстве, криволинейные и поверхностные (первого и второго рода) интегралы. Приведены теоремы Гаусса—Остроградского и Стокса.

Программа курса

1. МНОЖЕСТВА. МЕРА, ИНТЕГРИРОВАНИЕ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ПРОСТРАНСТВА

1.1. Множества. Системы множеств. Отображения. Соответствия, отношения. Отношения эквивалентности и порядка. Решетки, булевы алгебры.

1.2. Мера. Интеграл Лебега. Заряд. Теорема Радона–Никодима. Интеграл Лебега–Стилтьеса. Векторная мера.

1.3. Группы. Кольца, модули, алгебры. Топологические и метрические пространства. Линейные пространства, норма, скалярное произведение.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕХНИКИ РАБОТЫ С ВЕКТОРАМИ

2.1. Векторные пространства. Векторы и ковекторы. Биортогональные системы. Евклидовы пространства. Базисы, взаимные базисы. Компоненты векторов. Правило суммирования Эйнштейна.

2.2. Преобразование базисов. Преобразование компонент векторов. Инвариантность скаляров и векторов.

2.3. Трехмерные евклидовы ориентированные пространства. Векторное и смешанное произведения. Альтернирующие символы, символы Леви-Чивиты.

2.4. Векторные процессы. Дифференцирование по параметру.

3. ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА НАД ЕВКЛИДОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

3.1. Линейные операторы и билинейные функционалы. Тензоры второго ранга. Диады. Диадные базисы, компоненты тензоров.

3.2. Преобразование компонент при замене базисов. Инвариантность тензоров. Собственные и совместные инварианты.

3.3. Транспонирование. Симметричные и антисимметричные тензоры. След тензора. Шаровые тензоры и девиаторы.

3.4. Свертки тензоров с векторами. Однократная свертка тензоров. Степени тензора.

3.5. Определитель. Присоединенный тензор. Невырожденность, обратный тензор.

3.6. Последовательная и параллельная двукратные свертки тензоров. Евклидовость пространства тензоров второго ранга. Некоторые ортогональные подпространства и базисы.

3.7. Собственные векторы и собственные значения. Теорема Кэли—Гамильтона.

3.8. Теоремы о невырожденных, ортогональных и положительно определенных тензорах. Теорема о полярном разложении.

3.9. Тензорные процессы. Дифференцирование по параметру.

4. ТЕНЗОРЫ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАНГОВ

4.1. Тензорное произведение векторных пространств. Определяющие соотношения и свойства тензорного произведения. Полиады, полиадные базисы.

4.2. Теорема о представлении линейных отображений векторных пространств.

4.3. Тензоры произвольных рангов. Типы тензоров. Полиадные базисы, компоненты тензоров. Операции с тензорами различных типов.

4.4. Тензоры над евклидовым векторным пространством. Компоненты тензоров в полиадных базисах. «Жонглирование» индексами. Основные операции над тензорами.

4.5. Последовательные и параллельные свертки тензоров. Евклидовость пространств тензоров. Линейные отображения тензорных пространств.

5. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Линейные функции. Представления линейных функций. Примеры.

5.2. Проекторы в векторном пространстве. Проекторы в пространстве тензоров второго ранга.

5.3. Дифференцирование. Производные отображений линейных пространств. Производные тензорнозначных функций тензорных аргументов. Полиадное представление производных тензорных функций.

5.4. Производные по направлению. Дифференцирование произведений и сверток.

5.5. Сложное дифференцирование. Производная композиции отображений линейных пространств. Производные композиций отображений скаляров, векторов и тензоров второго ранга. Дифференцирование обратных отображений.

5.6. Дифференцирование в подпространствах. Дифференцирование функций векторного аргумента. Дифференцирование функций тензорного аргумента.

5.7. Производные линейных тензорных функций. Производные скалярных инвариантов. Потенциальные зависимости векторов и тензоров.

6. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ПОЛЯ, ГРАДИЕНТЫ ПОЛЕЙ

6.1. Аффинные пространства. Евклидовость.

6.2. Поля над аффинным пространством. Градиенты полей. Компоненты градиентов в фиксированных базисах. Формулы дифференцирования.

6.3. Дифференциальные операторы.

6.4. Дифференцирование полей с аргументами и значениями в арифметических пространствах.

6.5. Системы координат. Естественный и взаимный базисы. Виды систем координат, параметры Ламе. Компоненты векторных и тензорных полей в системе координат.

6.6. Градиенты векторов естественного базиса. Символы Кристоффеля. Ковариантные производные векторных и тензорных полей.

6.7. Представление дифференциальных операторов в системах координат.

6.8. Кривые, поверхности и области в аффинном пространстве. Криволинейные интегралы. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

6.9. Теорема Гаусса—Остроградского. Теорема Стокса.