Название спецкурса на русском языке
Метод конечных элементов. Специальные разделы
Перевод названия курса на английский язык
The finite element method. Special sections
Целевая аудитория
5 курс
Подразделение
[Кафедра теории упругости]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2021/22
Аудитория
[Неприменимо]
Аннотация
В курсе излагаются специальные разделы метода конечных элементов (МКЭ). Рассмотрены постановки начально-краевых задач динамики упругого тела; вариационные принципы динамики упругого тела; полудискретный метод Галеркина; методы прямого интегрирования уравнений динамики; метод спектральных элементов; метод собственных функций (метод нормальных форм колебаний); алгебраическая проблема собственных значений.
Программа курса
1. Динамические задачи теории упругости. Постановки начально-краевых задач динамики упругого тела. Вынужденные гармонические колебания. Собственные колебания. Прогрессивные волны. Демпфирование колебаний.
2. Вариационные принципы динамики упругого тела. Пространства абстрактных функций и эволюционные задачи. Принцип Даламбера-Лагранжа (принцип виртуальной работы). Принцип Гамильтона.
3. Полудискретный метод Галеркина. Сведение вариационной задачи принципа Даламбера-Лагранжа к решению задачи Коши для системы ОДУ. Матрица масс конечного элемента. Способы диагонализации матрицы масс. Учет демпфирования колебаний. Учет кинематических граничных условий.
4. Методы прямого интегрирования уравнений динамики. Двухслойная схема с весами. Метод центральных разностей. Метод Хаболта. Метод Вильсона. Метод Ньюмарка. Сходимость методов прямого интегрирования. Теорема Котельникова. Рекомендации по использованию методов прямого интегрирования.
5. Метод спектральных элементов. Многочлены Лежандра. Квадратурные формулы. Одномерные спектральные элементы. Двумерные спектральные элементы.
6. Метод собственных функций (Метод нормальных форм колебаний). Собственные (свободные) колебания упругого тела. Принцип виртуальных работ для собственных колебаний. Свойства собственных значений и собственных функций. Ряды Фурье. Метод собственных функций для динамических задач теории упругости. Численная реализация метода собственных функций.
7. Алгебраическая проблема собственных значений. Сведения из линейной алгебры. Замечания о методах решения спектральных задач. Степенной метод. Метод обратной итерации. Итерации со сдвигом начала. Итерационные алгоритмы для обобщенной проблемы собственных значений. Применение ортогональных преобразований.
Программа курса
1. Динамические задачи теории упругости. Постановки начально-краевых задач динамики упругого тела. Вынужденные гармонические колебания. Собственные колебания. Прогрессивные волны. Демпфирование колебаний.
2. Вариационные принципы динамики упругого тела. Пространства абстрактных функций и эволюционные задачи. Принцип Даламбера-Лагранжа (принцип виртуальной работы). Принцип Гамильтона.
3. Полудискретный метод Галеркина. Сведение вариационной задачи принципа Даламбера-Лагранжа к решению задачи Коши для системы ОДУ. Матрица масс конечного элемента. Способы диагонализации матрицы масс. Учет демпфирования колебаний. Учет кинематических граничных условий.
4. Методы прямого интегрирования уравнений динамики. Двухслойная схема с весами. Метод центральных разностей. Метод Хаболта. Метод Вильсона. Метод Ньюмарка. Сходимость методов прямого интегрирования. Теорема Котельникова. Рекомендации по использованию методов прямого интегрирования.
5. Метод спектральных элементов. Многочлены Лежандра. Квадратурные формулы. Одномерные спектральные элементы. Двумерные спектральные элементы.
6. Метод собственных функций (Метод нормальных форм колебаний). Собственные (свободные) колебания упругого тела. Принцип виртуальных работ для собственных колебаний. Свойства собственных значений и собственных функций. Ряды Фурье. Метод собственных функций для динамических задач теории упругости. Численная реализация метода собственных функций.
7. Алгебраическая проблема собственных значений. Сведения из линейной алгебры. Замечания о методах решения спектральных задач. Степенной метод. Метод обратной итерации. Итерации со сдвигом начала. Итерационные алгоритмы для обобщенной проблемы собственных значений. Применение ортогональных преобразований.