Механика деформируемого твердого тела

Основная часть курса посвящена постановкам и решению задач линейной теории упругости, включая задачу Кельвина, задачу Буссинеска – Черутти, контактную задачу Герца, задачи технической теории балок, пластин и оболочек, плоскую задачу, динамические проблемы, моделирующие распространение возмущений. В курсе также излагается теория малых упругопластических деформаций, теория вязкопластического течения. Программа курса
1. Постановки задач теории упругости для изотропного тела. Три формулы Бетти. Теорема взаимности. Изменение объёма и линейных размеров тела под действием массовых и поверхностных сил.
2. Действие сосредоточенной силы в неограниченном упругом пространстве. Тензор перемещений Кельвина и его симметрия. Тензор напряжений Кельвина. Формула Сомильяны. Представление и вектор Галёркина. Решение задачи Кельвина. Выражение для компонент тензора перемещений Кельвина. Выражение для компонент тензора напряжений Кельвина.
3. Матрица источников. Двойная сила без момента. Центр дилатации. Двойная сила с моментом. Центр вращения. Решение для полуоси, состоящей из центров дилатации.
4. Задача Буссинеска. Задача Черутти.
5. Контактная задача Герца. Гипотезы. Математическая постановка задачи. Анализ размерностей. Решение задачи Герца. Случаи поверхностей вращения и взаимодействия упругого тела с жёсткой плоскостью. Задача о соударении упругих тел. Время соударения.
6. Техническая теория балок. Главные векторы силы и момента. Статические моменты инерции. Изгиб балки. Гипотеза плоских сечений. Упругая линия. Вывод уравнения изгиба балки с помощью вариационного принципа Лагранжа. Изгибная жёсткость балки. Распределённые нагрузки и сосредоточенные силы. Перерезывающие силы.
7. Растяжение стержня. Зоны краевого эффекта. Вертикальный стержень в поле силы тяжести. Задача о равнопрочных сечениях. Статически определимые и статически неопределимые системы. Нахождение реакций.
8. Кручение стержня. Гипотеза плоских сечений. Функция напряжений и краевая задача для неё. Формула Прандтля. Кинематика в задаче о кручении. Крутка. Жёсткость при кручении. Циркуляция касательных напряжений. Кручение стержня с неодносвязным сечением. Решение задачи в случае полого эллиптического сечения.
9. Теория пластин. Тензоры усилий и моментов. Вектор перерезывающих сил. Изгиб пластины. Кинематика деформирования. Срединная плоскость и прогиб. Гипотеза плоской нормали. Связь моментов и кривизн при изгибе пластины. Изгибная жёсткость пластины.
10. Вывод уравнения изгиба пластины (уравнения Софи Жермен) с помощью вариационного принципа Лагранжа. Кинематические граничные условия. Защемление пластины по контуру.