Приближения аналитических функций рациональными

Программа первого семестра:

1. Введение.
1.1. Примеры конструкций приближения степенных рядов.
1.2. Рациональные приближения и их преимущества.
1.3. Рациональные приближения с фиксированными и свободными полюсами.

2. Определения и алгебраические свойства.
2.1. Локально-наилучшие рациональные приближения степенного ряда (аппроксимации Паде).
2.2. Обобщения аппроксимаций Паде.
2.2.1. Многоточечные аппроксимации Паде.
2.2.2. Аппроксимации Эрмита-Паде.
2.2.3. Аппроксимации Паде ортогональных разложений.
2.3. Чебышёвские аппроксимации.

3. Формальные свойства таблицы Паде.
3.1. Таблица Паде, строки и диагональ. Преобразование таблицы при простейших преобразованиях функций.
3.2. Структура таблицы Паде. Теорема о блоках.
3.3. Нормальность аппроксимаций Паде. Определители Адамара. Формулы для аппроксимаций Паде.
3.4. Рекуррентные соотношения в таблице Паде. Связь с непрерывными C-дробями.
3.5. Формула Эрмита.

4. Сходимость в таблице Паде.
4.1. Сходимость аппроксимаций Паде и круг голоморфности. Постановки задач. Сходимость строк (прямые задачи).
4.2. Сходимость по мере строк таблицы Паде.
4.3. Связь между сходимостью по мере и равномерной сходимостью для аналитических функций.
4.4. Равномерная сходимость строк таблицы Паде. Теорема Монтессу де Баллора.
4.5. Радиус m-го круга мероморфности для f ∈ Mm(Dm).
4.6. Общая теорема Адамара о радиусе m-го круга мероморфности.


Программа второго семестра:

1. Аппроксимации Паде (АП) в окрестности бесконечной точки.
1.1. Определения и нормальность.
1.2. Рекуррентные соотношения и непрерывные дроби.
1.3. Связь АП и их обобщений с Ортогональными Многочленами (ОМ-ми)

2. Общие ОМ.
2.1. АП марковских функций, моменты меры, ОМ-ы явный вид, рекуррентные соотношения.
2.2. Формула Кристоффеля-Дарбу, Коэффициенты Кристоффеля, Квадратуры Гаусса-Якоби, свойства нулей ОМ-ов.
2.3. Теорема Маркова о сходимости диагональных АП марковских функций.

3. Классические Ортогональные Многочлены (КОМ-ы).
3.1.Уравнение Пирсона, классификация КОМ-ов.
3.2. Дифференциальное уравнения для КОМ-ов.
3.3. Формула Родрига, явный вид и производящие функции КОМ-ов.

4. Асимптотики ОМ-ов.
4.1.Общий вид асимптотик общих ОМ.
4.2. Метод Дарбу и асимптотики многочленов Лежандра.
4.3. Метод Лиувилля-Стеклова и асимптотики многочленов Лежандра.