Спектральная геометрия

Предварительная программа.
1. Оператор Лапласа в евклидовом пространстве, задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.
2. Метод разделения переменных, спектр простейших областей.
3. Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа и простые следствия из него.
4. Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.
5. Теорема Вейля и ее доказательство для областей в евклидовом пространстве. Гипотеза Вейля.
6. Доказательство Филонова неравенства Фридландера. Другие неравенства.
7. Теорема Берса. Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о нодальных областях. Нодальная геометрия. Теоремы Плейеля и Брюнинга. Нодальная топология.
8. Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.
9. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии. Связь собственных функций с минимальными поверхностями (теорема Такахаси).
10. Геометрическая оптимизация собственных чисел на поверхностях. Экстремальные метрики. Связь экстремальных метрик с минимальными поверхностями (теорема Надирашвили - Эль-Суфи - Илиаса).
11. Теорема Херша. Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на конкретных поверхностях.
12. Экстремальные метрики в конформном классе, связь с гармоническими отображениями.
13. Задача Стеклова на поверхностях, связь с минимальными поверхностями в шаре.
14. Магнитный лапласиан.