Теория вязкоупругости

1. Оператор дифференцирования по времени. Обратный оператор. Замена переменных. Интегрирование по частям. Функция Хевисайда. Дельта-функция Дирака.
2. Вязкоупругое поведение материалов. Понятие о ползучести и релаксации и их опытное изучение. Кривые ползучести и релаксации.
3. Общий вид записи линейных определяющих соотношений вязкоупругости. Прямые и обратные соотношения. Теория наследственности Больцмана—Вольтерра. Интегральная форма связи между напряжениями и деформациями. Ядра ползучести и релаксации разностного типа. Их взаимообратность. Непрерывные ядра и ядра со слабой особенностью. Термодинамические ограничения на выбор ядер ползучести и релаксации.
4. Функции ползучести и релаксации. Их взаимообратность и связь с ядрами ползучести и релаксации. Физический смысл (связь с кривыми ползучести и релаксации). Экспериментальное определение функций ползучести и релаксации.
5. “Наивные” механические модели. Пружинка и поршенёк. Их комбинации. Модель Фойгта. Модель Максвелла. Трёхэлементные модели. Четырёхэлементное стандартное тело. Предельные случаи. Связные модели из M пружинок и N поршеньков. Дифференциальная и интегральная запись определяющих соотношений. Время релаксации. Время запаздывания. Спектры времён релаксации и запаздывания.
6. Дробный интеграл Римана-Лиувилля. Дробная производная. Основные свойства. Дробный высокоэластический spring-pot элемент. Обобщения моделей на случай использования элементов нецелого порядка. Линейные модели, приводящие к дифференциальным операторным уравнениям.
7. Мгновенное и предельное поведение вязкоупругих тел. Линейность и нелинейность определяющих соотношений в вязкоупругости. Ступенчатый процесс нагружения. Обратная ползучесть. Определение параметров моделей из опытов.
8. Деформирование вязкоупругих материалов в температурных полях. Зависимость материальных функций от температуры. Температурно-временная аналогия. Местное время. Определение коэффициентов температурного смещения. Соотношения линейной теории термовязкоупругости. Экспериментальная проверка температурно-временной аналогии.
9. Циклические процессы нагружения. Отставание деформаций по фазе. Установившиеся колебания. Комплексный модуль и комплексная податливость.
10. Операторы неразностного типа. Их взаимообратность. Стареющие материалы. Экспериментальное определение ядер неразностного типа. Инвариантность операторов относительно сдвига по времени. Коммутативность операторов.
11. Определяющие соотношения трёхмерной теории вязкоупругости. Анизотропный и изотропный случаи (объемные и сдвиговые составляющие). Тензоры ядер ползучести и релаксации. Определяющие соотношения в случае сложного напряженного состояния.
12. Постановки квазистатической и динамической задач линейной теории вязкоупругости для изотропной и анизотропной среды. Методы решения краевых задач. Операторный метод. Принцип соответствия Вольтерры. Оператор Пуассона. Оператор "жэ-бетта" Ильюшина и его свойства. Расшифровка операторов. Примеры решения задач вязкоупругости на основе имеющихся решений задач теории упругости.
13. Применение интегральных преобразований Лапласа и Лапласа-Карсона, их свойства. Теорема о свёртке. Обратное преобразование. Сведение к задачам теории упругости (преобразование основных соотношений, дифференциальных уравнений и граничных условий). Теорема единственности.
14. Вариационные принципы в линейной вязкоупругости. Применение вариационного метода к задачам изгиба.
15. Численные методы. Метод аппроксимаций Ильюшина. Метод Победри численной реализации упругого решения.
16. Плоская задача о вдавливании жесткого штампа в вязкоупругую полуплоскость. Контакт вязкоупругих тел: аналог задачи Герца.
17. Определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости применительно к малым деформациям. Разложение Вольтерры—Фреше. Ядра релаксации n-ого порядка. N-кратные теории. Главная квазилинейная теория вязкоупругости. Главная квадратичная по девиаторам теория вязкоупругости. Условие взаимности.
18. Упрощенные одномерные нелинейные модели. Методы определения основных характеристик.
19. Представление Победри нелинейных определяющих соотношений в вязкоупругости. Экспериментальное определение ядер. Трёхмерный случай. Возможные обобщения и упрощения.
20. Общая теория для физически и геометрически нелинейной вязкоупругости. Простые нагружения. Упрощённые теории. Слабая геометрическая нелинейность.
21. Термодинамические функции и законы сохранения для вязкоупругих моделей. Работа внутренних сил и рассеяние на монотонных процессах и замкнутых циклах. Уравнения сохранения энергии и распространение тепла в колебательных процессах.
22. Примеры решения задач.