Триангулируемые многообразия

Одна из первых идей топологии -- изучение сложного топологического пространства с помощью его разбиения на простые части. Самым важным примером такого рода разбиения является триангуляция -- разбиение на симплексы. Наличие триангуляции топологического пространства позволяет существенно упростить работу с ним. Например, для вычисления гомологий этого пространства вместо громоздких групп сингулярных цепей можно брать гораздо более удобные группы симплициальных цепей. Кроме того, триангуляцию можно рассматривать как способ кодирования пространства для компьютерных вычислений. Оказывается, однако, что имеется следующий на первый взгляд удивительный факт. Хотя теорема о возможности триангулировать гладкое многообразие была доказана уже почти 90 лет назад (С. Кэрнс, 1934), в размерностях 4 и выше список многообразий, для которых известна явно хотя бы одна триангуляция, крайне невелик. Поэтому известные явные триангуляции относительно простых многообразий очень интересно изучать; как правило, они являются красивыми комбинаторными объектами с интересными группами симметрии. Особый интерес представляет замечательная 9-вершинная триангуляция Кюнеля комплексной проективной плоскости CP2 (1980), с которой наука о явных триангуляциях по сути началась. В рамках спецкурса будет дано введение в теорию триангуляций многообразий с упором на построение явных триангуляций.