Современная дифференциальная геометрия и топология

Спецкурс на иностранном языке для студентов 5-6 курсов и
аспирантов.
Тема 1. Эйлерова характеристика двумерной триангулированной
поверхности, её инвариантность, эйлерова характеристика
выпуклого многогранника, теорема Гаусса-Бонне для многогранной
поверхности с краем и без.
Тема 2. Теорема Гаусса-Бонне для гладкой двумерной поверхности
с краем.
Тема 3. Теорема Сарда и следствия из неё (вложимость гладкого
многообразия размерности n в R^{2n+1}, существование функций
Морса)
Тема 4. Индекс особой точки векторного поля (инваринатность,
индекс невырожденных особых точек); индекс векторного поля на
многообразии, лемма Хопфа; существование невырожденного
векторного поля с той же суммойиндексов.
Тема 5. Теорема Пуанкаре-Хопфа для многообразий с краем и без;
лемма Морса об индексе векторного поля на многообразии с
краем.
Тема 6. Гауссова кривизна поверхности в R^n, площадь n-мерной
сферы; теорема Гаусса-Бонне для замкнутых ориентированных 2n-
мерных поверхностей в R^{2n+1}.
Тема 7. Гладкие векторные расслоения над гладкими
многообразиями; римановы связности и их кривизна. Гомоморфизм
Черна-Вейля; пфаффиан и класс Эйлера ориентированного
расслоения.
Тема 8. Теорема Гаусса-Бонне-Чженя.