Топология интегрируемых биллиардов

Топология интегрируемых биллиардовСпецкурс посвящен классу интегрируемых биллиардов. т.е. динамических систем с
ударами, вдоль фазовых траекторий которых сохраняются некоторые функции – первые
интегралы. Примерами могут служить биллиарды на плоском столе, ограниченном
прямоугольником, кругом, эллипсом или дугами эллипсов и гипербол с общими
фокусами.
В теории интегрируемых гамильтоновых систем А.Т.Фоменко и его научной школой был
развит топологический подход, соединяющий идеи и результаты теории Морса (функции
с невырожденными особенностями), трехмерной топологии и симплектической
геометрии. Мы напомним основные конструкции и результаты, полученные ранее, а
также разберем, что происходит в случае интегрируемых биллиардов.
Вторая половина курса в большей степени посвящена различным обобщениям плоских
интегрируемых биллиардов и их топологическим свойствам: биллиардная книжка
(склейка из плоских листов по изометриям их граничных дуг – кусочно-плоского стола

CW-комплекса с перестановками на ребрах), добавление подходящих потенциалов или
магнитного поля, переход к трехмерному случаю.
Получаемые классы биллиардов оказались очень широкими, и встал общий вопрос
(гипотеза А.Т.Фоменко): будет ли, с топологической точки зрения, класс интегрируемых
биллиардов «уже» класса невырожденных интегрируемых систем, или же произвольная
система может быть топологически промоделирована «более наглядным» биллиардом?
Мы обсудим полученные к настоящему моменту результаты и используемые для этого
конструкции, а также открытые вопросы для исследования.
Планируемый список тем:
– Основы симплектической геометрии: симплектическое пространство и многообразие,
их базовые свойства, гамильтоновы векторные поля, скобки Пуассона. Примеры.
– Вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы: слоение Лиувилля на их
фазовых пространствах и теорема Лиувилля.
– Интегрируемость биллиардов внутри прямоугольника, круга или кольца, эллипса, на
столах, ограниченных софокусными квадриками.
– Критические точки гладких функций и их невырожденность. Функции Морса и Морса-
Ботта. Невырожденные особенности интегрируемых гамильтоновых систем с одной и
двумя степенями свободы: 2-атомы и 3-атомы, особенности ранга 0. Теорема
классификации.
– Эквивалентности интегрируемых систем: топологические (грубая лиувиллевая и
лиувиллевая) и траекторная. Классифицирующие инварианты топологических
эквивалентностей. Построение, примеры вычисления.
– Биллиарды на круговых и софокусных плоских столах: адаптация общей теории,
вычисление инвариантов для биллиардов на таких столах.
– Топологические биллиарды и биллиардные книжки: интегрируемые биллиарды на
кусочно-плоских склеенных столах (2-многообразиях и CW-комплексах с
перестановками). Примеры подсчета инвариантов.
– Реализация произвольной невырожденной особенности без положений равновесия (3-
атома) интегрируемой системы подходящим биллиардом.
– Топология трехмерных многообразий, являющимися уровнями постоянной энергии
(изоэнергетическими поверхностями) интегрируемых систем. Классы гомеоморфности
изоэнергетических поверхностей для различных интегрируемых биллиардов.
– Интегрируемые софокусные и круговые биллиарды с потенциалом. Разделение
переменных. Методы построения бифуркационных диаграмм и описания их топологии.
– Интегрируемые биллиарды в трехмерных областях, ограниченных софокусными
квадриками: эллипсоидами и гиперболоидами.
– Интегрируемость биллиарда в постоянном магнитном поле: случаи плоских и
топологических круговых биллиардов
– Топологическое моделирование интегрируемыми биллиардами слоений Лиувилля
интегрируемых систем механики и геометрии: биллиард и система имеют послойно
гомеоморфные слоения Лиувилля. Гипотеза А.Т.Фоменко об интегрируемых биллиардах
и системах. Результаты и открытые вопросы.