Дополнительные главы комплексного анализа и некоторые приложения I

Программа курса:

1. Комплексные числа и планиметрия (1 лекция).
2. Метрическое доказательство Теоремы Жордана (о замкнутой жордановой кривой на плоскости) и её следствия (по работе [1], требуется 2-3 лекции).
3. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского (2 лекции).
4. Регулярные векторные поля на плоскости. Теория обтекания крыла: теоремы Чаплыгина и Жуковского ([2], гл. III, §2; 2-3 лекции).
5. Формула Помпейю. Свойства потенциала Коши ограниченной финитной функции ([3], Лекция 7: п. 7.1; Лекция 8: пп. 8.1-8.4).
6. Определение основных пространств функций. Доказательство теоремы Рунге ([3], Лекции 7, 8: пп. 7.4-7.7, 8.4-8.5).
7. Локализационный оператор Витушкина и его свойства ([4], гл. VIII, c. 273-275; [3], Лекция 9: пп. 9.6, 9.7.).
8. Стандартное разбиение единицы и оценочная лемма при касании третьего порядка на∞ ([4], гл. VIII, c. 274-276; [3], Лекция 10: пп. 10.1-10.4).
9. Доказательство теорем Мергеляна о приближении полиномами и рациональными функциями комплексного переменного ([3], Лекции 9, 10: пп. 9.1-9.3, 9.8, 10.5).
10. Следствия теоремы Мергеляна: уточненные варианты интегральной теоремы и интегральной формулы Коши, принципа аргумента, теоремы Руше и обратного принципа соответствия границ ([3], Лекция 11: пп. 11.1-11.7).
11. Примеры Рот и Долженко об отсутствии равномерной рациональной аппроксимации ([4], гл. II: с. 41-42; гл. VIII: с. 285-287).

ЛИТЕРАТУРА
[1] П.В. Парамонов, К.Ю. Федоровский. Доказательство Х. Тверберга теоремы о замкнутой жордановой кривой.// Алгебра и анализ. Изд. Наука (СПб.). 2015, т. 27:5, с. 207-220.
[2] М.А. Лаврентьев и Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М. "Наука", 1965.
[3] П.В.Парамонов. "Избранные главы комплексного анализа". Учебное пособие. Изд-во мех.-матем. ф-та МГУ, 2000.
[4] Т. Гамелин. "Равномерные алгебры". М., "Мир", 1973.