Нелинейные законы сохранения

Курс направлен на то, чтобы познакомить слушателей с одним из интенсивно развивающихся сегодня разделов теории уравнений с частными производными - нелинейными законами сохранения. Уравнения, описывающие законы сохранения и связанные с ними, являются основным инструментом моделирования различных процессов физики, биологии, экономики, и т.д., где важным является описание явлений нелинейного переноса. Основы теории законов сохранения были заложены в середине 20 века и были мотивированы изучением процессов распространения ударных волн в воздухе. В 50-70 годы в работах И.М.Гельфанда, П.Д.Лакса, А.Майды, О.А.Олейник, С.Н.Кружкова (очень неполный перечень) были получены классические в этой области результаты, в дальнейшем продолженные в различных направлениях. Вместе с тем, существует большое количество нерешенных задач, которые могут быть сформулированы даже на элементарном уровне.
В спецкурсе рассматриваются в первую очередь, квазилинейные уравнения и системы законов сохранения первого порядка и связанные с ними уравнения и системы. Обсуждается, в частности, возможность построения точных решений, вопросы о возникновении особенностей гладких решений, типы этих особенностей, методы доказательства отсутствия гладких решений, проблемы построения обобщенных решений и возможности их регуляризации. Кроме того, рассматриваются уравнения более высоких порядков, связанные с законами сохранения добавлением специальных членов, и обсуждаются свойства, которые при этом возникают: возможность существования бегущих волн, солитонные решения, явление локализации.

Спецкурс является дополнительным к основному курсу уравнений в частных производных, где обсуждается в основном классическая теория линейных уравнений математической физики. Он призван познакомить с наиболее яркими явлениями теории нелинейных уравнений и современными методами их исследования.