Общая топология и топологическая алгебра

Общая, или теоретико-множественная, топология лежит в основе всех прочих разделов топологии и занимается изучением абстрактных топологических пространств (т.е. множеств, снабжённых самой общей структурой, позволяющей определить понятия предельной точки и непрерывности) --- объектах неизмеримо более разнообразных и удивительных, чем, скажем, многообразия. Объекты изучения топологической алгебры --- это топологические пространства, наделённые алгебраической структурой, согласованной с топологией; другими словами, это универсальные алгебры, т.е. множества с операциями (в первую очередь, группы), наделённые топологией, относительно которой эти операции непрерывны. Уже само существование такой топологии оказывает неожиданно большое влияние на алгебраические свойства рассматриваемых объектов и наоборот --- топологические свойства очень сильно зависят от наличия непрерывных операций.

В курсе будет рассказано о наиболее фундаментальных и любопытных понятиях, конструкциях и фактах общей топологии, которые обычно остаются за рамками базовых курсов (в частности, о кардинальных инвариантах, гиперпространствах, топологических размерностях, а также о нестандартных вещах, связанных с топологическими произведениями и компактификациями). Параллельно будет излагаться теория топологических групп и более общих тополого-алгебраических систем: при обсуждении каждого общетопологического свойства, конструкции и т.п. большое внимание будет уделяться его связи с наличием непрерывных операций, в первую очередь групповых. Некоторое внимание предполагается уделить топологическим пространствам отображений, в частности, топологическим векторным пространствам и кольцам непрерывных функций.

Для полного понимания материала никаких предварительных знаний не требуется, однако знакомство с самыми начальными сведениями из математического анализа, а также понятиями группы и открытого множества, может помочь.