Механика неньютоновских жидкостей

Fluids that can be described by the Navier–Stokes equations are called Newtonian fluids, and all others are called non-Newtonian fluids. The most common fluids, such as toothpaste, hair gel, mayonnaise, liquid foam, cement, and blood are on-Newtonian fluids. Molten plastic is also non-Newtonian fluid. Geophysical fluids, such as mud flows, volcanic lava, laciers, and snow avalanches are also non-Newtonian fluids. Non-Newtonian fluid models are introduced by increasing the level of complexity. An up-to-date mathematical and numerical analysis of the corresponding equations is presented in this course .and several practical numerical algorithms for the approximation of the solutions are proposed..

Newtonian fluids and the Navier–Stokes equations are introduced. Newtonian fluids constitute the basis for the development of more complex models. Next, various quasi-Newtonian fluids are considered: this is a first step in the study of complex fluids. Quasi-Newtonian fluids are characterized by a nonconstant viscosity law that depends on the velocity gradient. Two numerical algorithms are presented in order to solve this nonlinearity: the fixed-point method and the Newton method.Then we take a look at viscoplastic fluids: these complex fluids are defined by a non-differentiable constitutive equations.Two main classes of numerical algorithms are presented: the regularization method and the augmented Lagrangian algorithm. This second approach uses some convex analysis tools that are introduced in the chapter. At last, we consider viscoelastic fluids.The overview of all non-Newtonian fluids has the same structure: we start with the problem statement, then the fluid model is presented through Poiseuille and Couette flows, which can be solved explicitly. Next, the numerical methods are presented together with examples of computations dealing with complex flow conditions for which there is no explicit solution is available.

Жидкости, которые могут быть описаны уравнениями Навое-Стокса, называются ньютоновскими, а все остальные жидкости - неньютоновскими. Наиболее распространенные жидкости, такие как зубная паста, гель для волос, майонез, жидкая пена, цемент, нефть и кровь являются неньютоновскими жидкостями. Расплавы полимеров - неньютоновские жидкости. Геофизические жидкости, такие как грязевые потоки, вулканическая лава, ледники и снежные лавины также являются неньютоновскими жидкостями. В настоящем курсе модели неньютовских жидкости вводятся по мере усложнения. Представлен современный математический и численный анализ соответствующих уравнений и представлены некоторые практические численные методы для получения приближенных решений.

Курс начинается с ньютоновских жидкостей, которые представляют собой основу для разработки более сложных моделей. Далее рассматриваются квазиньютоновские жидкости, которые характеризуются переменной вязкостью, зависящей от градиента скорости. Представлены два численных алгоритма для решения соответствующих нелинейных уравнений: метод неподвижной точки и метод Ньютона. Затем рассматриваются вязкопластичные жидкости - это сложные жидкости с не дифференцируемыми определяющими соотношениями. Представлены два основных класса численных алгоритмов: метод регуляризации и алгоритм расширенного Лагранжиана. Для изложения второго метода представлены некоторые элементы выпуклого анализа. Последними рассматриваются вязкоупругие жидкости. Описание каждой неньютоновской жидкости имеет одинаковую структуру: начинаем с постановки задачи, затем рассматриваем течения Пуазейля и Куэтта, для которых существуют аналитические решения. Потом происходит знакомство с соответствующими численными методами и результатами вычислений для сложных задач, которые не имеют аналитического решения.