Топологические свойства интегрируемых биллиардов и систем

В данном курсе мы обсудим несколько обобщений плоских биллиардов, ограниченных
софокусными квадриками (софокусные биллиарды) или концентрическими окружностями
и отрезками их радиусов (круговые биллиарды), которые сохраняют интегрируемость
исходного класса биллиардов, т.е. наличие достаточного количества первых интегралов.
В первую очередь, это предложенные В.В.Ведюшкиной классы топологических
биллиардов (кусочно-плоские 2-многообразия) и биллиардных книжек (CW-комплексы с
перестановками), столы которых склеены из плоских областей, софокусных либо
круговых, по их общим дугам границы. Переход шара с листа на лист после удара о дугу
границы листа задается перестановкой, приписанной этой дуге (в топологических
биллиардах ребру приписана либо транспозиция, или тождественная перестановка).
Вершинам CW-комплекса при этом соответствуют условия коммутирования
перестановок. Кроме того, будут обсуждаться системы, получаемые при добавлении
потенциала или магнитного поля к плоскому биллиарду. Имеется обобщение и на случай
большей размерности.

Полученные классы биллиардов оказывались весьма широкими. Помимо чисто
комбинаторной задачи (описания CW-комплексов с наборами коммутирующих
перестановок) возникает и топологический вопрос: насколько разнообразно может быть
устроено слоение Лиувилля этих биллиардов, т.е. разбиение фазового пространства на
совместные уровни первых интегралов? Мы напомним необходимые конструкции и
определения, расскажем о недавних результатах, возникающих связях с трехмерной
топологией, алгеброй и теорией интегрируемых систем.
Планируемый список тем:
– Топологические биллиарды и биллиардные книжки: интегрируемые биллиарды на
кусочно-плоских склеенных столах (2-многообразиях и CW-комплексах с
перестановками). Примеры подсчета инвариантов.
– Реализация произвольной невырожденной особенности без положений равновесия (3-
атома) интегрируемой системы подходящим биллиардом.
– Топология трехмерных многообразий, являющимися уровнями постоянной энергии
(изоэнергетическими поверхностями) интегрируемых систем. Классы гомеоморфности
изоэнергетических поверхностей для различных интегрируемых биллиардов.
– Интегрируемые софокусные и круговые биллиарды с потенциалом. Разделение
переменных. Методы построения бифуркационных диаграмм и описания их топологии.
– Интегрируемые биллиарды в трехмерных областях, ограниченных софокусными
квадриками: эллипсоидами и гиперболоидами.
– Интегрируемость биллиарда в постоянном магнитном поле: случаи плоских и
топологических круговых биллиардов
– Топологическое моделирование интегрируемыми биллиардами слоений Лиувилля
интегрируемых систем механики и геометрии: биллиард и система имеют послойно
гомеоморфные слоения Лиувилля. Гипотеза А.Т.Фоменко об интегрируемых биллиардах
и системах. Результаты и открытые вопросы.