Название спецкурса на русском языке
Геометрия и топология гамильтоновых систем
Перевод названия курса на английский язык
Geometry and topology of Hamiltonian systems
Целевая аудитория
2 курс
3 курс
4 курс
5 курс
6 курс
Магистранты
Аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальной геометрии и приложений]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2020/21
Аудитория
[Неприменимо]
Аннотация
Полугодовой спецкурс для студентов, начиная с 1 курса - до аспирантов.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГРУППАХ ЛИ И АЛГЕБРАХ ЛИ
Матричные группы как гладкие многообразия и как группы Ли. Алгебра Ли
и ее связь с группой Ли. Матричные группы малых размерностей.
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Линейная симплектическая структура. Изотропность, лагранжевость. Группа симплектических преобразований.
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Симплектическая структура на многообразии. Теорема Дарбу. Канонические симплектические координаты. Примеры симплектических многообразий (кокасательные расслоения и т.п.). Косой градиент и гамильтоновы векторные поля (динамические системы). Связь с потенциальными векторными полями. Лемма Пуанкаре. Несжимаемые потоки идеальной жидкости. Комплексные потенциалы. Скобка Пуассона и ее основные свойства. Тождество Якоби для скобки Пуассона.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Интегралы гамильтоновых полей. Инволютивность. Теорема Лиувилля. Полная
интегрируемость по Лиувиллю. Отображение момента интегрируемой системы.
Бифуркации торов Лиувилля и топология интегрируемой системы. Уравнения
движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве (уравнения
Эйлера-Пуассона). Знаменитые случаи интегрируемости: случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГРУППАХ ЛИ И АЛГЕБРАХ ЛИ
Матричные группы как гладкие многообразия и как группы Ли. Алгебра Ли
и ее связь с группой Ли. Матричные группы малых размерностей.
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Линейная симплектическая структура. Изотропность, лагранжевость. Группа симплектических преобразований.
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Симплектическая структура на многообразии. Теорема Дарбу. Канонические симплектические координаты. Примеры симплектических многообразий (кокасательные расслоения и т.п.). Косой градиент и гамильтоновы векторные поля (динамические системы). Связь с потенциальными векторными полями. Лемма Пуанкаре. Несжимаемые потоки идеальной жидкости. Комплексные потенциалы. Скобка Пуассона и ее основные свойства. Тождество Якоби для скобки Пуассона.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Интегралы гамильтоновых полей. Инволютивность. Теорема Лиувилля. Полная
интегрируемость по Лиувиллю. Отображение момента интегрируемой системы.
Бифуркации торов Лиувилля и топология интегрируемой системы. Уравнения
движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве (уравнения
Эйлера-Пуассона). Знаменитые случаи интегрируемости: случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.
Дополнительная информация
Видеозаписи лекций, связь с лектором - по электронной почте.