Комбинаторика выпуклых многогранников
Название спецкурса на английском языке
Combinatorics of convex polytopes
Пререквизиты
Желатально знать основы линейной алгебры
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Два описания выпуклого многогранника. Теорема Минковского-Вейля
Грани выпуклых многогранников.
Двойственный многогранник.
Шеллинговость выпуклых многогранников и формула Эйлера-Пуанкаре. Полиэдральные комплексы. Диаграммы Шлегеля.
Алгебра Хопфа комбинаторных выпуклых многогранников с операцией джойна. Операторы граней.
f-векторы простых многогранников. Соотношения Дена-Соммервилля. Формулировка теорем о верхней и нижней границах чисел граней простых n-мерных многогранников с фиксированным числом гиперграней. Формулировка g-теоремы.
Флаговые векторы выпуклых многогранников. Соотношения Байер-Биллеры.
Многогранный конус. Два способа описания.
Понятие веера. Нормальный веер выпуклого многогранника.
Сумма Минковского множеств. Многогранники Ньютона.
Производящие множества и нестоэдры.
Диаграммы Гейла выпуклых многогранников. Многогранники с малым числом граней.
Графы многогранников. Теорема Штейница о характеризации графов трёхмерных многогранников. Медиальные графы.
Прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского. Формулировка теоремы Андреева. Вывод теоремы Кёбе-Андреева-Тёрстона о реализации трёхмерного многогранника
Фуллерены. Фуллерены и 7-диск-фуллерены как прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского.
Построение семейств трёхмерных многогранников при помощи операций: фуллерены и многогранники Погорелова. Теорема Т.Иное об увеличении гиперболического объёма при операции (идея доказательства).
Грани выпуклых многогранников.
Двойственный многогранник.
Шеллинговость выпуклых многогранников и формула Эйлера-Пуанкаре. Полиэдральные комплексы. Диаграммы Шлегеля.
Алгебра Хопфа комбинаторных выпуклых многогранников с операцией джойна. Операторы граней.
f-векторы простых многогранников. Соотношения Дена-Соммервилля. Формулировка теорем о верхней и нижней границах чисел граней простых n-мерных многогранников с фиксированным числом гиперграней. Формулировка g-теоремы.
Флаговые векторы выпуклых многогранников. Соотношения Байер-Биллеры.
Многогранный конус. Два способа описания.
Понятие веера. Нормальный веер выпуклого многогранника.
Сумма Минковского множеств. Многогранники Ньютона.
Производящие множества и нестоэдры.
Диаграммы Гейла выпуклых многогранников. Многогранники с малым числом граней.
Графы многогранников. Теорема Штейница о характеризации графов трёхмерных многогранников. Медиальные графы.
Прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского. Формулировка теоремы Андреева. Вывод теоремы Кёбе-Андреева-Тёрстона о реализации трёхмерного многогранника
Фуллерены. Фуллерены и 7-диск-фуллерены как прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского.
Построение семейств трёхмерных многогранников при помощи операций: фуллерены и многогранники Погорелова. Теорема Т.Иное об увеличении гиперболического объёма при операции (идея доказательства).
Список источников
1. Э.Б. Винберг. Курс алгебры (глава про выпуклые многогранники). МЦНМО. 2017.
2. Branko Grunbaum. Convex polytopes (2nd Edition). Graduate texts in Mathematics, 221, Springer-Verlag, New York, 2003.
3. Г. Циглер. Теория многогранников. МЦНМО. 2014.
4. В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. МЦНМО, 2004.
5. Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr.,~204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
6. V.M. Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, Combinatorics and toric topology of fullerenes and related families of polytopes. Preprint.
7. В.А. Емеличев, М.М. Ковалев, М.К. Кравцов. Многогранники, графы, оптимизация. М., Наука, 1981.
8. К. Кассель. Квантовые группы. УРСС. 1999.
9. В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67--162.
2. Branko Grunbaum. Convex polytopes (2nd Edition). Graduate texts in Mathematics, 221, Springer-Verlag, New York, 2003.
3. Г. Циглер. Теория многогранников. МЦНМО. 2014.
4. В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. МЦНМО, 2004.
5. Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr.,~204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
6. V.M. Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, Combinatorics and toric topology of fullerenes and related families of polytopes. Preprint.
7. В.А. Емеличев, М.М. Ковалев, М.К. Кравцов. Многогранники, графы, оптимизация. М., Наука, 1981.
8. К. Кассель. Квантовые группы. УРСС. 1999.
9. В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67--162.
Дополнительная информация
информация о спецкурсе в телеграм: https://t.me/+etNivCxY4jk1MTMy
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.