Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов
Название спецкурса на английском языке
Introduction to the spectral theory of differential operators
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Гильбертово пространство. Линейные и квадратичные функционалы.
Энергетическое пространство и функционал энергии.
Неограниченные операторы. Симметричность и самосопряженность.
Существенная самосопряженность операторов.
Расширение симметричного оператора. Индексы дефекта.
Полуограниченные операторы. Положительные и положительно определенные операторы.
Расширение полуограниченного оператора. Расширение по Фридрихсу.
Спектр замкнутого линейного оператора. Классификация точек спектра. Спектры расширений.
Спектр самосопряженного оператора.
Компактные и относительно компактные возмущения операторов.
Оператор Штурма-Лиувилля. Основные свойства оператора. Регулярный и сингулярный случаи.
Оператор Штурма--Лиувилля на конечном интервале. Асимптотика собственных значений и собственных функций.
Теоремы Штурма.
Оператор Штурма--Лиувилля в сингулярном случае. Оператор Шредингера.
Существенная самосопряженность оператора Шредингера. Теорема Сирса.
Другие условия существенной самосопряженности.
Энергетическое пространство и функционал энергии.
Неограниченные операторы. Симметричность и самосопряженность.
Существенная самосопряженность операторов.
Расширение симметричного оператора. Индексы дефекта.
Полуограниченные операторы. Положительные и положительно определенные операторы.
Расширение полуограниченного оператора. Расширение по Фридрихсу.
Спектр замкнутого линейного оператора. Классификация точек спектра. Спектры расширений.
Спектр самосопряженного оператора.
Компактные и относительно компактные возмущения операторов.
Оператор Штурма-Лиувилля. Основные свойства оператора. Регулярный и сингулярный случаи.
Оператор Штурма--Лиувилля на конечном интервале. Асимптотика собственных значений и собственных функций.
Теоремы Штурма.
Оператор Штурма--Лиувилля в сингулярном случае. Оператор Шредингера.
Существенная самосопряженность оператора Шредингера. Теорема Сирса.
Другие условия существенной самосопряженности.
Список источников
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.
Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963.
Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963.
Дополнительная информация
По всем вопросам просьба писать лектору проф. А.В. Филиновскому на почту flnv@yandex.ru
Изучаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных операторов на ограниченном интервале. Исследуется асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций, рассматриваются вопросы полноты систем собственных функций. Для операторов на неограниченном интервале рассматриваются вопросы существенной самосопряженности, достаточные условия дискретности спектра, поведение собственных функций.
День недели
понедельник
Время
20:15-21:50
Аудитория
1603
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1603
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.