Прикладные вопросы алгебры

Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Машина Тьюринга.
Существование не алгоритмически разрешимой проблемы.
Задание полугруппы образующими и соотношениями. Задание группы образующими и соотношениями. Алгоритм проверки равенства слов в свободной группе.
Не разрешимость массовой проблемы равенства слов в полугруппах.
Схемы симплификации. Нормальная и каноническая форма элемента. 5 эквивалентных условий для схемы симплификация (одно из которых — условие канонизации).
Линейные схемы симплификации. Разложение подпространства элементов, имеющих каноническую форму, в прямую сумму подпространства нормальных элементов и подпространства элементов с нулевой канонической формой.
Пример линейной схемы симплификации: определение порядка на элементах, если задан порядок на базисных элементах. Редукции.
Шесть эквивалентных свойств для примера линейной схемы симплификации (одно из которых — свойство канонизации).
Лемма Диксона.
Мономиальные порядки. Условие минимальности. Примеры порядков. Утверждение о том, как устроены все мономиальные порядки (без доказательства).
Элементарная редукция. Редукция по системе полиномов. Остаток. Отсутствие бесконечных цепочек редукций. Система Грёбнера.
Нётеровы кольца (эквивалентные определения). Теорема Гильберта о базисе.
Базис Грёбнера. Критерий Бухбергера.
Алгоритм Бухбергера. Характеризация базиса Грёбнера в терминах старших членов.
Проблема вхождения элемента в идеал. Минимальный редуцированный базис Грёбнера. Проблема равенства идеалов.
Пересечение идеала с подкольцом многочленов от некоторых переменных.
Пересечение идеалов.
Лемма о достраивании корня.
Лемма о промежуточной замене.
Алгоритм решения полиномиальной системы.
Теорема Гильберта о нулях (слабая и сильная формулировки).
Проверка того, что данный многочлен принадлежит радикалу данного идеала.
Рост алгебры. Инвариантность количества параметров при решении полиномиальной системы.
Универсальный базис Грёбнера.