Геометрия квантового расстояния Громова-Хаусдорфа
Банаховы пространства
Направленности и их пределы
Слабая топология
*-слабая топология
Рефлексивные пространства
Сепарабельные пространства
Равномерная выпуклость
Гильбертовы пространства
Банаховы алгебры
Элементы теории алгебр
Резольвентные множества и спектры в унитальной алгебре
Спектральный радиус в унитальной алгебре
Спектры и спектральные радиусы в неунитальной алгебре
Экспоненты в унитальной банаховой алгебре
Модулярные идеалы, продолжение
Характеры коммутативной алгебры, ее спектр
Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры
Элементы теории C*-алгебр
Алгебры с инволюцией или *-алгебры
Нормированные и банаховы *-алгебры
C*-алгебры
Представление Гельфанда коммутативной C*-алгебры
Некоторые приложения представления Гельфанда
Функциональные исчисления
Положительные элементы в C*-алгебрах
Частичный порядок на эрмитовых элементах C*-алгебры
Аппроксимативная единица
Положительные линейные функционалы на C*-алгебрах
Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала
Частичный порядок с единицей на векторных пространствах
Вещественные векторные пространства с порядком
Положительные R-линейные функционалы и состояния
Порядковая полунорма
Упорядоченные *-пространства
Квантовые метрические пространства
Обобщенные полунормы и обобщенные полуметрики
Обобщенная липшицева полунорма на обобщенном метрическом пространстве
Комплексные меры
Расстояние Монжа–Канторовича
Упорядоченные пространства с порядковой единицей (напоминание)
Представление Кэдисона
Компактные квантовые метрические пространства
Пространства с липшицевыми полунормами
Радиус квантового метрического пространства
Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
Морфизмы
Определение квантового расстояния Громова–Хаусдорфа
[2] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.
[3] Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhдuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
[4] Rieffel M.A. Compact Quantum Metric Spaces, arXiv:math/0308207 [math.OA].
[5] Rieffel M.A. Metrics on states from actions of compact groups. Doc. Math., 1998, v. 3, 215–229, см. также arXiv:math/9807084 [math.OA].
[6] Rieffel M.A. Metrics on state spaces, Doc. Math., 1999, v. 4, pp. 559—600, см. также arXiv:math/9906151 [math.OA].
[7] Rieffel M.A. Gromov—Hausdorff distance for quantum metric spaces. Mem. Amer. Math. Soc., 2004, v. 168, pp. 1—65, см. также arXiv:math/0011063 [math.OA].
[8] Kerr D. Matricial quantum Gromov-Hausdorff distance. J. Funct. Anal., 2003, v. 205, no. 1, pp. 132-–167, см. также arXiv:math/0207282 [math.OA].
[9] Kerr D., Li H. On Gromov–Hausdorff convergence of operator metric spaces. J. Oper. Theory, 2009, v. 1, no. 1, 83—109, см. также arXiv:math/0411157 [math.OA].
[10] Wu W. Non-commutative metrics on state spaces, J Ramanujan Math. Soc., 2005, v. 20, no. 3, pp. 215-–214, см. также arXiv:math/0411475 [math.OA].
[11] Wu W. Non-commutative metric topology on matrix state spaces. Proc. Amer. Math. Soc., 2006, v. 134, no. 2, pp. 443–453, см. также arXiv:math/0410587 [math.OA].
[12] Wu W. Quantized Gromov-Hausdorff distance. J. Funct. Anal. 2006, v. 238, no. 1, pp. 58-–98, см. также arXiv:math/0503344 [math.OA].
[13] Paulsen V., Tomforde M. Vector spaces with an order unit. ArXiv:0712.2613 [math.OA].
[14] Putnam I.F. Lecture Notes on 𝐶*-algebras. https://www.math.uvic.ca/faculty/putnam/ln/C*-algebras.pdf
[15] Kesavan S. Functional Analysis, Hindustan Book Agency, 2009.
[16] Мерфи Дж. 𝐶*-алгебры и теория операторов. Факториал, 1997.
[17] Pedersen G. К. С*-algebras and their automorphism groups. London: Academic Press, 1979.
[18] Kadison R.V. A representation theory for commutative topological algebra. Mem. Amer. Math. Soc., no. 7, 1951.
[19] Богачев В.И. Слабая сходимость мер, Ижевский институт компьютерных исследований, Москва–Ижевск, 2016.
[20] Богачев В.И. Основы теории меры, Том 1, РХД, М. – 2003.
[21] Богачев В.И. Основы теории меры, Том 2, РХД, М. – 2003.
[22] Rudin W. Real and complex analysis, (third edition), McGraw-Hill Book Co., New York, 1987.
[23] Latr´emoli`ere, F. The quantum Gromov–Hausdorff propinquity. Trans. Amer. Math. Soc., 2016, v. 368, N 1, 365–411.
[24] Dudley R.M. Real analysis and probability. CRC Press, 2018.
[25] Alfsen E.M. Compact convex sets and boundary integrals, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1971.
[26] Conway J.B. A course in functional analysis, Graduate Texts in Mathematics 96, Springer-Verlag, 1985.
[27] https://en.wikipedia.org/wiki/Hahn-Banach_theorem
[28] Krein M., Milman D. On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica, 1940, v. 9, pp. 133–138.
Желающие получить ссылку на zoom-конференцию, пожалуйста, напишите или
Александру Олеговичу Иванову, или Алексею Августиновичу Тужилину, или любому слушателю спецкурса.
Метрическая геометрия, в частности, геометрия гиперпространств, то есть метрических пространств, точками которых являются метрические пространства из некоторого фиксированного семейства, представляет собой активно развивающуюся область современной математики, имеющую многочисленные приложения. Хорошо известно пространство компактных метрических пространств с метрикой Громова-Хаусдорфа. Однако, эта метрика не учитывает специфики, возникающей, если рассматриваемые пространства несут ту или иную дополнительную структуру. Квантовое расстояние Громова-Хаусдорфа - это как раз одна из таких модификаций, учитывающая особенности пространств состояний упорядоченных векторных пространств.
Курс является продолжением серии спецкурсов, прочитанных нами в 22, 23 и 24 годах. Уже была изложена теория C*-алгебр и теория векторных пространств с частичным порядком. В обоих случаях пространства состояний, наделенные *-слабой топологией, компактны. Эта ситуация хорошо знакома специалистам по теории меры, где аналогичные результаты имеют место при рассмотрении комплексных борелевских мер и их важного подкласса - вероятностных мер. Последние естественным образом могут быть представлены как элементы пространства состояний соответствующей C*-алгебры.
Если *-слабая топология на пространстве состояний задается метрикой, порожденной липшицевой полунормой, то соответствующее упорядоченное вещественное векторное пространство называется компактным квантовым метрическим пространством. Мы покажем, как можно модифицировать классическое расстояние Громова-Хаусдорфа между пространствами состояний, чтобы в результате это расстояние не только измеряло сходство метрических структур, но и учитывало частичные порядки, а для C*-алгебр - и соответствующие алгебраические структуры. Полученное в результате расстояние называется квантовым расстоянием Громова-Хаусдорфа. Цель курса - познакомить слушателей со свойствами этого расстояния, продемонстрировать его сходство с и отличия от классического расстояния Громова-Хаусдорфа, а также интересные приложения.
Первая лекция в осеннем семестре 2024–2025 учебного года состоится 18 сентября 2024.