Введение в теорию ветвящихся процессов

Обзор истории ветвящихся процессов. Вклад И.Ж. Бьенэме, Г.В. Ватсона, Ф. Гальтона и Дж.Ф. Стеффенсена в решение задачи о вырождении фамилии. Возникновение термина «ветвящийся процесс». Вклад отечественной школы в развитие теории ветвящихся процессов.
Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Определение пространства элементарных исходов и сигма-алгебры событий. Современное определение вероятности. Построение пространства элементарных исходов для простейшего ветвящегося процесса.
Случайные величины. Распределения случайных величин (дискретные и абсолютно-непрерывные распределения). Примеры. Функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Независимые события. Независимые случайные величины. Теорема Ломницкого-Улама о существовании семейства независимых случайных величин с заданными распределениями (без доказательства). Рекуррентный способ определения процесса Гальтона-Ватсона на основе массива независимых одинаково распределенных случайных величин.
Определение производящей функции случайной величины. Вывод уравнения, решением которого является вероятность вырождения фамилии. Доказательство того, что эта вероятность является наименьшим корнем упомянутого уравнения и отлична от единицы тогда и только тогда, когда среднее число потомков превосходит единицу (надкритический режим). Классификация процессов Гальтона-Ватсона.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Условные математические ожидания дискретных случайных величин относительно сигма-алгебр, порожденных разбиением. Свойства условных математических ожиданий. Вывод итерационной формулы для производящей функции числа частиц в n-м поколении в процессе Гальтона-Ватсона.
Определение геометрического распределения. Нахождение явного вида производящей функции числа частиц в n-м поколении в процессе Гальтона-Ватсона, если распределение числа потомков каждой частицы является геометрическим.
Определение однородной марковской цепи. Примеры. Теорема о существовании марковской цепи с заданными переходными вероятностями и начальным распределением (без доказательства). Определение процесса Гальтона-Ватсона как однородной марковской цепи.
Сильная сходимость случайных величин. Определение мартингала. Примеры. Теорема Дуба о сходимости мартингальной последовательности (без доказательства). Применение теоремы Дуба к нормированному надкритическому процессу Гальтона-Ватсона.
Входящий поток заявок. Исходящий поток обслуженных требований. Система массового обслуживания с одним прибором и неограниченной очередью. Применение процессов Гальтона-Ватсона в теории массового обслуживания.
Неразложимые матрицы с неотрицательными элементами. Теорема Перрона-Фробениуса. Процессы Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц. Классификация таких процессов.
Процессы чистого размножения. Вывод системы дифференциальных уравнений для вероятностей Pn(t) пребывания системы в n-м состоянии в момент времени t. Теорема о необходимом и достаточном условии равенства единице суммы вероятностей Pn(t) для всех t>0.
Редуцированные процессы. Теорема о моменте рождения ближайшего общего предка в случае надкритического процесса Гальтона-Ватсона. Теоремы о расстоянии до момента рождения ближайшего общего предка в случае докритического и критического процессов Гальтона-Ватсона.
Ветвящийся процесс в изменяющейся среде. Классификация ветвящегося процесса в случайной среде на основе сопровождающего случайного блуждания. Подходы к изучению ветвящегося процесса в случайной среде: метод отжига и метод заморозки.
Вероятность вырождения ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона с геометрическим распределением числа потомков. Простое случайное блуждание и задача о разорении игрока. Связь между процессом Гальтона-Ватсона с геометрическим распределением числа потомков и простым случайным блужданием.
Процессы Крампа-Мода-Ягерса (общие ветвящиеся процессы). Примеры. Уравнение восстановления для математического ожидания значения процесса в момент времени t>0. Теорема восстановления. Мальтусовский параметр. Классификация процессов Крампа-Мода-Ягерса.
Ветвящиеся процессы с пространственной динамикой. Ветвящееся броуновское движение. Однородное ветвящееся случайное блуждание. Ветвящийся процесс Беллмана-Харриса как однородное ветвящееся случайное блуждание. Каталитическое (неоднородное) ветвящееся случайное блуждание.