Введение в теорию дзета-функции Римана
Название спецкурса на английском языке
Introduction to the theory of the Riemann zeta function
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Определение дзета-функции Римана и ее простейшие свойства. Обобщения функции . Аналитическое продолжение в область .
Ряды Дирихле, связанные с дзета-функцией.
Целые функции конечного порядка. Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса.
Гамма-функция Эйлера: функциональное уравнение, формула Стирлинга.
Тета-ряд и его свойства. Выражение дзета-функции через тета-ряд. Функциональное уравнение дзета-функции. Аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Нетривиальные нули дзета-функции. Следствия из функционального уравнения для дзета-функции. Разложение логарифмической производной в ряд по нулям.
Теорема Ш. Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции.
Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди . Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение .
Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями , лежащими на критической прямой.
Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции через нули . Формула Сельберга.
Асимптотические законы распределения простых чисел.
Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для.
Оценки дзетовой суммы.
Современная граница нулей
Ряды Дирихле, связанные с дзета-функцией.
Целые функции конечного порядка. Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса.
Гамма-функция Эйлера: функциональное уравнение, формула Стирлинга.
Тета-ряд и его свойства. Выражение дзета-функции через тета-ряд. Функциональное уравнение дзета-функции. Аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Нетривиальные нули дзета-функции. Следствия из функционального уравнения для дзета-функции. Разложение логарифмической производной в ряд по нулям.
Теорема Ш. Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции.
Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди . Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение .
Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями , лежащими на критической прямой.
Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции через нули . Формула Сельберга.
Асимптотические законы распределения простых чисел.
Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для.
Оценки дзетовой суммы.
Современная граница нулей
Список источников
Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана.- М.: Физматлит, 1994.
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел.- М.: Едиториал УРСС, 2004.
Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.
H. Iwaniec. Lectures on the Riemann Zeta Function. Rutgers, Fall 2012.
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел.- М.: Едиториал УРСС, 2004.
Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.
H. Iwaniec. Lectures on the Riemann Zeta Function. Rutgers, Fall 2012.
Дополнительная информация
при необходимости время занятия можно перенести
День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
405
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
425
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.