Модулярные функции

Эллиптические функции и их свойства. Функции Вейерштрасса. Дифференциальное уравнение и теорема сложения для функции ℘(z). Условия алгебраической зависимости функций ℘(z) с различными периодами. Точки конечного порядка. Многочлены деления. Рекуррентные уравнения для многочленов деления.
Модулярная группа. Ряды Эйзенштейна и их свойства. Разложение в ряд Фурье рядов Эйзенштейна. Модулярные функции и формы. Нули и полюсы модулярной функции веса 2k. Дискриминант ∆(𝜏) и модулярный инвариант j(𝜏). Строение алгебры модулярных форм. Базис в пространстве модулярных форм заданного веса. Размерность этого пространства. Необращение в нуль дискриминанта и разрешимость уравнения j(𝜏) = с при любом комплексном с. Параметризация любой эллиптической кривой y^2= x^3- ax - b эллиптическими функциями Вейерштрасса. Целость коэффициентов рядов Фурье дискриминанта и модулярного инварианта.