Проблема Варинга для кубов
спецкурсе требуется знание основ математического анализа и знакомство с
комплексными числами.
Тригонометрические суммы с многочленом в экспоненте. Рациональные тригонометрические суммы. Формулы суммирования Абеля и Эйлера-Маклорена. Поведение тригонометрической суммы в окрестности рациональной точки.
Теорема Дирихле о приближениях. Разбиение единичного отрезка на «большие дуги» и «малые дуги».
Вычисление вклада в формулу для числа решений от «больших дуг».
Метод Г.Вейля оценок тригонометрических сумм с показателем в экспоненте.
Оценка вклада в формулу для числа решений от «малых дуг».
Вывод асимптотической формулы для числа представлений целого N суммою k>9 положительных кубов.
Теорема Хуа Ло-кена об оценке чётного момента тригонометрической суммы. Вывод асимптотики для числа представлений N суммою 9 кубов.
Представимость чисел суммою 8 неотрицательных кубов.
Представимость чисел суммою 7 неотрицательных кубов.
В 1770 году английский математик Эдвард Варинг
сформулировал следующее утверждение: «каждое натуральное число или
само является кубом или суммой двух, трех, 4, 5, 6, 7, 8, или девяти кубов, а
также квадрат-квадратом или суммой двух, трех, … , вплоть до девятнадцати
таковых, и так далее». В современной постановке эта задача, получившая
название «проблемы Варинга», формулируется так: доказать, что для любого
целого n существует G(n), зависящее лишь от n и такое, что всякое натуральное
число N представимо суммою G(n) штук n-х степеней неотрицательных целых
чисел. Размышления над этой задачей вызвали к жизни появление мощных и
красивых методов, одним из которых является «круговой метод», созданный
Г. Харди, Дж. Литтлвудом, С. Раманужаном и усовершенствованный
И.М. Виноградовым. На занятиях мы познакомимся с основами кругового
метода на примере аккуратного вывода асимптотической формулы для
количества представлений любого достаточно большого числа суммою
десяти (для начала) и девяти (напоследок) кубов.