Ультрафильтры

Понятие ультрафильтра, основное свойство ультрафильтров. Применение ультрафильтров в разных областях математики: нестандартный анализ, многообразия групп, комбинаторика (теоремы о раскрасках).
Ультрафильтры на топологических пространствах. Сходимость ультрафильтров. Основные понятия топологии (непрерывность, компактность, отделимость и т.п.) на языке ультрафильтров. Теорема Тихонова о компактности произведений и её простое доказательство с помощью ультрафильтров.
Топологическое пространство ультрафильтров на множестве X, его компактность и другие топологические свойства. Полугруппа ультрафильтров в случае, когда X является полугруппой. Существование идемпотентов и минимальных идеалов в этой полугруппе, комбинаторные следствия (теорема ван дер Вардена о существовании сколь угодно длинных одноцветных арифметических и геометрических прогрессий при любой раскраске множества натуральных чисел в конечное число цветов, теорема Шура об одноцветном решении уравнения x + y = z и т.п.)
Краткое введение в топологическую динамику, связь между ультрафильтрами и множествами возврата в топологических динамических системах.
Специальные ультрафильтры на счётном множестве, их свойства, существование и применение в топологии и топологической алгебре. Ультрафильтры на несчётных множествах.
Нерешённые задачи, связанные с ультрафильтрами.