Теория модулярных форм
Формула валентности. Ряды Эйзенштейна, модулярный дискриминант, структура алгебры модулярных форм. Квазимодулярные формы.
Модулярные функции, j-инвариант. Эллиптические функции, эллиптические кривые, теория комплексного умножения и алгебраичность значений j-инварианта.
Гильбертовы пространства модулярных форм. Ряды Пуанкаре и гипотеза Лемера. Операторы Гекке.
Тета-функции решёток. Суммы 2, 4 и 8 квадратов. Решетка E_8 и решетка Лича. Экстремальные решётки.
L-функции модулярных форм, функциональные уравнения. Средние значения коэффициентов. Метод Ранкина-Сельберга.
L-функции эллиптических кривых. Аналитический ранг. Теорема о модулярности и связь с Великой Теоремой Ферма.
Iwaniec "Topics in classical automorphic forms"
Bruinier, van der Geer, Harder, Zagier, "The 1-2-3 of modular forms", Chapter 1
Модулярные формы — классический и фундаментальный объект, появляющийся во многих на первый взгляд не связанных друг с другом разделах математики. Первые шаги теории модулярных форм были сделаны в контексте теории эллиптических функций и римановых поверхностей. Дальнейшее развитие этой области показало, что модулярные формы и функции появляются повсюду, от теории чисел и теории представлений до упаковок шаров. Например, значения j-инварианта порождают абелевы расширения мнимоквадратичных полей, а его коэффициенты содержат в себе информацию о самой большой спорадической конечной простой группе — Монстре. Многие классические соотношения теории чисел, такие как формула Якоби для количества способов представить данное натуральное число в виде суммы четырех квадратов, являются следствиями соотношений между коэффициентами Фурье модулярных форм. В данном курсе будут обсуждаться базовые результаты о модулярных формах, возможно с некоторым уклоном в сторону теории чисел (это связано с предпочтениями автора курса). Если на это хватит времени, то мы поговорим также о том, какую роль играют модулярные формы в доказательстве Великой Теоремы Ферма.
Вся актуальная информация о курсе будет в группе в tg:
https://t.me/+hsjxTxgGwLI1Mjgy