Грубые траектории и регулярная структура
теория вероятностей и случайные процессы.
Алгебра и геометрия повторных интегралов по траекториям. Соотношения Чена.
Пространство Гёльдера и его свойства. Пространство грубых траекторий. Обобщение теоремы Колмогорова и построение грубой траектории, соответствующей винеровскому процессу.
Лемма о сшивке. Построение и свойства интеграла Юнга.
Производная Губинелли. Пространство управляемых траекторий. Интеграл по грубым траекториям и его свойства. Формула Ито.
Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми траекториями. Существование и единственность решений. Непрерывность отображения Ито-Лионса. Связь дифференциальных уравнений по грубым траекториям и введение в теорию регулярных структур. Теорема о восстановлении. Примеры применения.
Peter K. Friz и Martin Hairer. A Course on Rough Paths, With an Introduction to Regularity Structures. Springer, 2nd edition, 2020.
M Hairer. A theory of regularity structures. Inventiones mathematicae, 198(2), 269–504, 2014.
Thierry L ́evy Terry J. Lyons Michael Caruana. Differential Equations Driven by Rough Paths. LNM, volume 1908. pringer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.
Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses
Курс посвящен теории дифференциальных уравнений, управляемых нерегулярными траекториями. Такие уравнения возникают в разнообразных задачах, в которых изменение состояния системы зависит не только от длины временного промежутка и состояния системы в настоящий момент времени, но и от изменения некоторого дополнительного параметра. Например, движение автомобиля зависит не только от его положения и скорости, но и от поворота руля. Другой пример доставляют процессы, управляемые стохастическими уравнениями, когда изменение состояния системы зависит от приращения случайного процесса. Поскольку управляющая траектория нерегулярна, то линейные интерполяции (то есть приращения) плохо описывают траекторию и не позволяют построить решение соответствующего уравнения. Возникает естественный вопрос: что еще (кроме приращений) надо знать о негладкой траектории? T. Lyons предложил вместе с приращениями рассматривать повторные интегралы по траекториям, исследовал их алгебраическую структуру и построил решение уравнения в виде функции, зависящей от управляющей траектории и последовательности повторных интегралов
по этой траектории, причем оказалось, что такое сопоставление непрерывно. Дальнейшее развитие теории грубых траекторий привело к созданию M. Hairer теории регулярных структур, позволившей исследовать нелинейные стохастические уравнения с частными производными.