Нелинейные законы сохранения
Формирование особенностей гладкого решения квазилинейного уравнения. Время образование особенности.
Обобщенное решение. Условия Рэнкина-Гюгонио. Проблема единственности обобщенного решения. Условие допустимости разрыва.
Метод исчезающей вязкости для квазилинейного уравнения. Уравнение Бюргерса и его решение.
Задача Коши в классе допустимых решений. Доказательство единственности.
Существование допустимого решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Формула Лакса-Олейник.
Поведение допустимого решения задачи Коши при больших временах. Асимптотика в норме L-бесконечность. Точность оценки.
Асимптотика в норме L_1. Распад в N-волну.
Гиперболические системы законов сохранения. Истинно нелинейные и линейно вырожденные характеристические направления. Допустимость разрыва согласно Лаксу. Малые разрывы. К-волны: ударные волны, волны разрежения, кон-тактные разрывы. Однопараметрическое семейство К-волн.
Теорема о существовании допустимого решения задачи Римана для системы гиперболических уравнений.
Энтропийные критерии допустимости. Энтропийная пара. Построение энтропии для одного уравнения и системы двух уравнений.
Симметрические гиперболические системы и энтропия.
Примеры гиперболических систем в строгом и нестрогом смысле. Системы уравнений газовой динамики.
Инварианты Римана. Симметрическая форма гиперболической системы. Система уравнений газовой динамики в ин-вариантах.
Уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова. Суще-ствование решения в виде бегущей волны. Устойчивость этого решения. Нахождение решения в виде асимптотического ряда.
Различные способы регуляризации невязкого уравнения Бюргерса – добавление вязких и дисперсионных членов. Автомодельное решение. Соотношение между порядками малости вязкости и дисперсии.
Уравнение Кортевега-де Вриза. Решение в виде уединенной волны. Солитоны. Построение двухсолитонного решения методом Хироты.
Нелинейное уравнение Шредингера. Понятие о критической нелинейности. Метод моментов. Образование особенностей решения. Гидродинамическая интерпретация.
Нелинейное уравнение теплопроводности. Особенности распространения тепловых волн (конечная и бесконечная скорость распространения волны, гладкость решения в точках фронта, явление локализации тепла).
П.Д. Лакс, Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных (глава 11), РХД, 2010 (англ. издание доступно на lib.mexmat.ru).
Л.Эванс. Уравнения с частными производными, Т.Рожковская, 2003 (англ. издание доступно на lib.mexmat.ru).
L.Debnath. Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Birkhäuser Mathematics, 2012 (доступно на lib.mexmat.ru).
Додд Р., Эйлбек Дж., и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения Мир, 1988.
С лектором можно связаться по адресу:
olga.rozanova@math.msu.ru
Курс направлен на то, чтобы познакомить слушателей с одним из интенсивно развивающихся сегодня разделов теории уравнений с частными производными - нелинейными законами сохранения. Уравнения, описывающие законы сохранения и связанные с ними, являются основным инструментом моделирования различных процессов физики, биологии, экономики, и т.д., где важным является описание явлений нелинейного переноса. Основы теории законов сохранения были заложены в середине 20 века и были мотивированы изучением процессов распространения ударных волн в воздухе. В 50-70 годы в работах И.М.Гельфанда, П.Д.Лакса, А.Майды, О.А.Олейник, С.Н.Кружкова (очень неполный перечень) были получены классические в этой области результаты, в дальнейшем продолженные в различных направлениях. Вместе с тем, существует большое количество нерешенных задач, которые могут быть сформулированы даже на элементарном уровне.
В спецкурсе рассматриваются в первую очередь, квазилинейные уравнения и системы законов сохранения первого порядка и связанные с ними уравнения и системы. Обсуждается, в частности, возможность построения точных решений, вопросы о возникновении особенностей гладких решений, типы этих особенностей, методы доказательства отсутствия гладких решений, проблемы построения обобщенных решений и возможности их регуляризации. Кроме того, рассматриваются уравнения более высоких порядков, связанные с законами сохранения добавлением специальных членов, и обсуждаются свойства, которые при этом возникают: возможность существования бегущих волн, солитонные решения, явление локализации.
Спецкурс является дополнительным к основному курсу уравнений в частных производных, где обсуждается в основном классическая теория линейных уравнений математической физики. Он призван познакомить с наиболее яркими явлениями теории нелинейных уравнений и современными методами их исследования.