1613

Свободные группы. Теорема Нильсена-Шрайера
Теория Галуа. Основная теорема теории Галуа. Критерий разрешимость Галуа
Модули. Конечно порожденные модули над кольцами главных идеалов

Динамические системы и условие их консервативности. Фазовое пространство автономных систем. Структура фазовой плоскости систем второго порядка. Динамика совместного существования видов. Метод фазовой плоскости в задаче «хищник – жертва».
Бифуркации положений равновесия консервативных систем на фазовой плоскости. Задача о маятнике на вращающемся основании
Предельные циклы. Критерий Бендиксона-Дюлакаотсутствия замкнутых траекторий. Теория индексов Пуанкаре и законы совместного существования положений равновесия и замкнутых траекторий на фазовой плоскости
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Грубые системы. Теорема Андронова-Понтрягина. Бифуркации предельных циклов на фазовой плоскости
Структура решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Системы с постоянными коэффициентами и устойчивость по первому приближению
Фундаментальная система решений уравнения свободных колебаний линейного осциллятора. Наискорейшее затухание колебаний. «Период» и логарифмический декремент затухающих колебаний. Свободные колебания осциллятора с сухим (кулоновым) трением.
Вынужденные колебания линейного осциллятора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
Матричная форма уравнений консервативных систем. Теория малых колебаний
Уравнения Лагранжа с множителями для систем с голономными стационарными связями. Малые колебания консервативной системы со связью и способ отыскания ее частот при известных частотах свободной системы. Изменение частот консервативной системы при наложении связей
Экстремальные свойства собственных частот консервативных систем. Теорема Фишера-Куранта. Изменение частот при изменении жесткости и инерционности системы. Теорема Релея. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных малых колебаний
Влияние периодических сил на малые колебания консервативной системы. Принцип взаимности. Динамический гаситель колебаний, задачи виброзащиты и виброизоляции. Резонанс при вынужденных колебаниях. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных и вынужденных малых колебаний
Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Мультипликаторы Флоке и их свойства
Приводимость линейных систем с периодическими коэффициентами. Характеристические показатели. Теорема об устойчивости тривиального решения
Параметрические колебания. Уравнение Матье. Диаграмма Айнса-Стретта. Влияние вертикальной вибрации точки подвеса на устойчивость положений равновесия маятника. Моделирование начального этапа раскачивания качелей

Модифицированные уравнения Эйлера.
Прецессионные уравнения гироскопа в кардановом подвесе.
Карданов подвес ротора гироскопа. Кинематика карданова подвеса.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой.
Введение невращающейся системы координат.
Методы кинетостатики в динамике систем связанных тел.
Прецессионные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе.
Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе.
Задача о гироскопе, ориентируемом на Полярную звезду.
Чувствительные элементы систем управления для определения вертикали на подвижном объекте. Гиромаятник.
Уравнения движения гиромаятника на неподвижном и подвижном основании.
Влияние вязкого и сухого трения на движение гиромаятника.
Наземный гироскопический компас.
Определение углов ориентации самолета с использованием астатического гироскопа

Постановка задачи и основные границы. Канал с ошибками и стираниями Код: алфавит, размерность, длина блока, минимальное кодовое расстояние. Связь расстояния с числом исправляемых ошибок. Скорость и относительное расстояние. Граница Синглтона. Граница Хэмминга. Объём шара Хэмминга, функция Шеннона, асимптотический вид границ для двоичного и произвольного алфавита. Граница Гилберта; граница Варшамова—Гилберта и жадный алгоритм.
Линейные коды и классические конструкции. Линейные коды. Коды Рида—Соломона и их декодирование от ошибок. Коды Хэмминга $[2^m-1,2^m-m-1,3]_2$ и $[2^m,2^m-m-1,4]_2$, кодирование и декодирование. Случайные линейные коды. Коды Возенкрафта. Коды Рида—Маллера и их кодовое расстояние. Коды БЧХ; связь БЧХ с кодами Хэмминга.
Каскадные коды и явные асимптотически хорошие коды. Каскадное кодирование. Полиномиальное декодирование каскадных кодов от $(d-1)/2$ ошибок. Теорема Форни. Коды Форни—Возенкрафта—Юстесена. Коды с малой плотностью проверок на чётность (LDPC) и их связь с экспандерами.
Верхние границы параметров кода. Геометрические леммы для границ Плоткина. Первая граница Плоткина. Вторая граница Плоткина для двоичного и для произвольного алфавита. Улучшенная граница Синглтона. Граница Джонсона. Граница Элайеса—Бассалыго.
Декодирование списком и локальные алгоритмы. Коды Адамара и расширенные коды Адамара; рандомизированное декодирование за время $\mathrm{poly}(\log n)$. Декодирование списком: определение, объёмная граница, теорема Элайеса как достаточное условие. Кодовое расстояние и декодирование списком. Декодирование списком кодов Адамара со списком постоянного размера; теорема Голдрайха—Левина. Декодирование списком кодов Рида—Соломона. Композиция Рида—Соломона с Адамаром и её декодирование списком.

Унитарный ансамбль, его унитарная инвариантность. Гауссов унитарный ансамбль.
Формула Вейля для интегрирования по мере, определенной на векторах собственных значений матриц.
Совместная плотность распределения собственных значений унитарного ансамбля.
Маргинальные плотности (m-корреляционные функции). Детерминантный векторный случайный процесс.
Представление совместной плотности распределения собственных значений унитарного ансамбля в виде энергии логарифмического потенциала.
Общие свойства экстремальной меры задачи минимизации энергии во внешнем поле. Экстремальная мера для квадратичного внешнего поля.
Глобальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля.
Матричная задача Римана–Гильберта для ортогональных многочленов. Постановка задачи, существование и единственность решения.
Схема решения матричной задачи Римана–Гильберта (при n → ∞) .
Локальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля «внутри» спектра.
Локальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля «с краю» спектра.
Гауссовы унитарные ансамбли - многочлены Эрмита, распределение «полукруга», универсальность, различные режимы (факультативно).

Нутационная теория гироскопа.
Первые интегралы в задаче о движении свободного гироскопа.
Вывод формулы Магнуса методом последовательных приближений.
Система гироскопической стабилизации углового положения объекта.
Одноосный гироскопический стабилизатор, гироскопическая рама.
Теорема Ишлинского о накоплении телесного угла.
Теория пространственного гирокомпаса.
Динамически настраиваемый гироскоп. Уравнения движения.
Вибрационный МЭМС гироскоп. Решение уравнений при постоянной угловой скорости основания.
Элементы теории инерциальной навигации.
Построение функции Ляпунова для задачи о движении волчка.
Построение функции Ляпунова для задачи о сложении колец гироскопа

Система в вариациях для периодического решения автономной системы. Связь его мультипликаторов Флоке с мультипликаторами соответствующего отображения Пуанкаре
Устойчивость периодического решения автономной системы. Теорема Андронова-Витта. Орбитальная устойчивость. Признак Пуанкаре устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости
Влияние позиционных, диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия механических систем. Стабилизация положений равновесия волчка. Задача о неустойчивости поперечных колебаний железнодорожной колесной пары
Фракционный анализ. Математические методы разделения движений. Регулярные и сингулярные возмущения. Асимптотические и сходящиеся ряды. Примеры
Разложение Пуанкаре для систем с малым параметром в правой части и его особенности за пределами конечного интервала времени
Моделирование неизохронности нелинейных колебаний тела в пружинном подвесе. Секулярные члены.
Разделение движений в системах с малым параметром при производных. Теорема Тихонова-Васильевой и условия применимости ее результатов на временной полупрямой. Структура области влияния в скалярном случае
Хаотические колебания вблизи петли сепаратрисы седловой точки. Критерий Пуанкаре-Мельникова. Хаотические переходы в бистабильных системах на плоскости
Исследование корректности модели абсолютно твердого тела
Модель релаксационных колебаний осциллятора с нелинейным трением
Системы с разрывными правыми частями. Построение уравнений скользящего режима при помощи методов теории сингулярных возмущений. Релейное управление угловым движением космического аппарата. ПарадоксыПэнлеве.
Усреднение в системах с одной быстрой фазой. Условия близости решений на временной полупрямой. Теоремы о существовании и устойчивости периодического режима. Модель динамики маятника Капицы. Автоколебания осциллятора с нелинейным трением, близкие к гармоническим
Системы с несколькими быстрыми фазами. Усреднение по траекториям порождающей системы. Резонанс. Пример Арнольда. Усреднение нерезонансных систем
Усреднение в резонансном случае для систем с постоянными и переменными частотами. Теорема Арнольда-Нейштадта об усреднении двухчастотных систем, не застревающих на резонансе, и ее распространение на системы с произвольным числом частот. Усреднение систем, застревающих на резонансе
Главный параметрический резонанс для уравнения Матье. Приближение для границ первой зоны неустойчивости на диаграмме Айнса-Стретта.Вынужденные колебания в системах с «мягкой» и «жесткой» характеристиками восстанавливающей силы. Резонансы в системах с квадратичным и кулоновым трением