Современный групповой анализ дифференциальных уравнений

Название спецкурса на английском языке
Modern group analysis of differential equations
Авторы курса
Аксенов Александр Васильевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра гидромеханики]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Классификация инвариантных решений дифференциальных уравнений.
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Метод интегрирующего множителя. Метод дифференциальных инвариантов.
Нахождение фундаментальных решений уравнений математической физики с помощью симметрий.
Нелинейный принцип суперпозиции. Теорема Гульдберга–Вессио–Ли.
Контактные преобразования Ли. Инфинитезимальные контактные преобразования.
Группы Ли–Беклунда. Основные представления. Полная группа Ли–Беклунда для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Условные симметрии дифференциальных уравнений.
Нелокальные симметрии. Потенциальные симметрии.
Симметрии и законы сохранения. Вариационные симметрии. Теорема Э. Нетер. Симметрии и первые интегралы.
Приближенные непрерывные группы преобразований. Приближенные инвариантные решения.
Линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу.
Список источников
Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 240 с.
Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1966. 132 с.
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978. 400 с.
Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1983. 280 с.
Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер. с англ. М.: Мир. 1989. 639 с.
Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. Springer–Verlag New York Inc. 1989. 412 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 81)
Полищук Е.М. Софус Ли (1842–899). Л.: Наука. 1983. 214 с.
Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. V. 30. № 10. Pp. 2201–2213.
Аксенов А.В., Козырев А.А. Редукции уравнения стационарного пограничного слоя с градиентом давления // Доклады АН. 2013. Т. 449. № 5. С. 516–520.
Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2. С. 151–153.
Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу // Доклады АН. 2001. Т. 381. № 2. С. 176–179.
Дополнительная информация

Первая лекция 10 февраля 2026 г.
Программа курса доступна на странице https://gidropraktikum.narod.ru/documents.htm
Контактная информация преподавателя https://vk.com/board163670179

День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
434
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Дополнительные главы асимптотических методов в механике

Название спецкурса на английском языке
Advanced topics of asymptotic methods in mechanics
Авторы курса
Аксенов Александр Васильевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра гидромеханики]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Уравнение Дюффинга.
Линейный осциллятор с затуханием.
Системы с квадратичной и кубической нелинейностью.
Вынужденные колебания для уравнения Дюффинга.
Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля. Работа А.А. Дородницына [7]. Основные результаты.
Задачи с пограничным слоем. Метод сращивания асимптотических разложений.
Нелинейные периодические волны малой амплитуды в газе.
Установившиеся ветровые течения в двухслойном океане на экваторе.
Вычисление интегралов с быстро меняющейся подынтегральной функцией.
Группа растяжений дифференциального уравнения. Построение автомодельных решений.
Список источников
Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР. 1937. Репринтное издание: Москва–Ижевск: НИЦ «РХД». 2004.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972.
Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1978.
Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир. 1967.
Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Ван дер Поля // Прикладная математика и механика. 1947. Т. 11. Вып. 3. C. 313–328.
Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука. 1983.
Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987.
Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990.
Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир. 1966.
Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз. 1962.
де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ. 1961.
Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит. 2009.
Аксенов А.В. Нелинейные периодические волны в газе // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 5. С. 88–98.
Аксенов А.В., Музылев С.В., Фельзенбаум А.И. К теории выхода экваториального глубинного противотечения на поверхность океана // Доклады АН СССР. 1979. Т. 245. № 3. С. 559–562.
Дополнительная информация

Первая лекция 12 февраля 2026 г.
Программа курса доступна на странице https://gidropraktikum.narod.ru/documents.htm
Контактная информация преподавателя https://vk.com/board163670179

День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
434
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Введение в групповой анализ дифференциальных уравнений

Название спецкурса на английском языке
Introduction to group analysis of differential equations
Авторы курса
Аксенов Александр Васильевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра гидромеханики]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Однопараметрические непрерывные группы преобразований. Определение и примеры. Уравнения Ли. Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор. Инвариантные многообразия. Группы преобразований и пи-теорема.
Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения. Определяющие уравнения. Алгебра Ли операторов симметрии.
Размножение решений с помощью симметрий. Размножение решений линейных уравнений.
Групповая классификация дифференциальных уравнений.
Группы, допускаемые системами дифференциальных уравнений.
Групповая природа замены Флорина–Хопфа–Коула.
Инвариантно-групповые решения. Два подхода к построению инвариантных решений. Автомодельные решения, бегущие волны.
Прямой метод Кларксона–Крускала построения редукций и его обобщение.
Групповой критерий возможности линеаризации нелинейных уравнений.
Классификация инвариантных решений дифференциальных уравнений.
Список источников
Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 240 с.
Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1966. 132 с.
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978. 400 с.
Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1983. 280 с.
Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер. с англ. М.: Мир. 1989. 639 с.
Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. Springer–Verlag New York Inc. 1989. 412 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 81)
Полищук Е.М. Софус Ли (1842–899). Л.: Наука. 1983. 214 с.
Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. V. 30. № 10. Pp. 2201–2213.
Аксенов А.В., Козырев А.А. Редукции уравнения стационарного пограничного слоя с градиентом давления // Доклады АН. 2013. Т. 449. № 5. С. 516–520.
Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2. С. 151–153.
Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу // Доклады АН. 2001. Т. 381. № 2. С. 176–179.
Дополнительная информация

Дата начала будет указана на доске объявлений кафедры гидромеханики на 16 этаже (в лифтовом холле). 
Программа курса доступна на странице https://gidropraktikum.narod.ru/documents.htm
Контактная информация преподавателя https://vk.com/board163670179

День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
434
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Введение в асимптотические методы в механике

Название спецкурса на английском языке
Introduction to asymptotic methods in mechanics
Авторы курса
Аксенов Александр Васильевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра гидромеханики]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Асимптотические ряды. Определение. Свойства асимптотических рядов.
Сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Неравномерные разложения. Сингулярные и регулярные разложения.
Решение алгебраических уравнений с малыми параметрами.
Асимптотическое разложение интегралов. Разложение подынтегральной функции в ряд.
Асимптотическое разложение интегралов. Интегрирование по частям.
Асимптотическое разложение интегралов. Метод Лапласа.
Асимптотическое разложение интегралов. Метод стационарной фазы.
Дифференциальные уравнения с малым параметром. Метод Паункаре–Линдштедта.
Дифференциальные уравнения с малым параметром. Метод перенормировки.
Дифференциальные уравнения с малым параметром. Метод многих масштабов.
Дифференциальные уравнения с малым параметром. Метод вариации произвольных постоянных.
Дифференциальные уравнения с малым параметром. Метод усреднения.
Список источников
Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР. 1937. Репринтное издание: Москва–Ижевск: НИЦ «РХД». 2004.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972.
Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1978.
Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир. 1967.
Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Ван дер Поля // Прикладная математика и механика. 1947. Т. 11. Вып. 3. C. 313–328.
Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука. 1983.
Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987.
Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990.
Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир. 1966.
Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз. 1962.
де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ. 1961.
Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит. 2009.
Аксенов А.В. Нелинейные периодические волны в газе // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 5. С. 88–98.
Аксенов А.В., Музылев С.В., Фельзенбаум А.И. К теории выхода экваториального глубинного противотечения на поверхность океана // Доклады АН СССР. 1979. Т. 245. № 3. С. 559–562.
Дополнительная информация

Дата начала будет указана на доске объявлений кафедры гидромеханики на 16 этаже (в лифтовом холле). 
Программа курса доступна на странице https://gidropraktikum.narod.ru/documents.htm
Контактная информация преподавателя https://vk.com/board163670179

День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
434
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Криптографические методы защиты информации

Название спецкурса на английском языке
Cryptographic methods in information security
Авторы курса
Васенин Валерий Александрович, Галатенко Алексей Владимирович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра вычислительной математики]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Криптографические примитивы: шифрование, хэширование, электронная подпись, генерация случайных чисел.
Симметричные шифры. Блочные шифры. Понятие стойкости, модели атакующего
Совершенные шифры и табличное гаммирование.
Алгоритм AES. Атака SQUARE.
Режимы использования блочных симметричных шифров для обеспечения конфиденциальности.
Алгоритм DES. Слабые ключи. Алгоритм TDES. Атака методом встречи в середине.
Линейный криптоанализ. Общая схема построения соотношений. Лемма Мацуи.
Коррелция булевых функций. Связь между корреляцией и вероятностью линейного соотношения. Матрицы корреляции для криптографических преобразований.
Защищенность AES от линейного криптоанализа.
Дифференциальный криптоанализ. Общая схема построяния соотношений.
Алгоритмы шифрования с открытым ключом. Отличия от симметричного случая. Алгоритмы RSA и Эль-Гамаля.
Понятие эллиптической кривой. Группа точек эллиптической кривой. Криптоалгоритмы на эллиптических кривых. Элекктронная подпись ECDSA и ГОСТ.
Криптографические хэш-функии. Понятие стойкости. Применения хэш-функций в задачах защиты информации.
Парадокс дней рождения.
Конструкция Меркла-Дамгора. Алгоритмы SHA-1 и SHA-2.
Конструкция губки. Алгоритм SHA-3.
Ключевые режимы использования хэш-функций. Алгоритм HMAC.
Режимы использования блочных шифров для обеспечения целостности и аутентичности данных. CBC-MAC и GCM.
Аппаратная реализация криптоалгоритмов.
Криптоалгоритмы, основанные на конечных квазигруппах.
Методы порождения случайных и псевдослучайных чисел.
Список источников
B. Schneier. Applied cryptography. Protocols, algorithms and source code in C. John Wiley & Sons, 1996
A.J. Menezes, P.C. van Oorschot, S.A. Vanstone. Handnook of applied cryptography. CRC Press, 1997
Стандарт AES: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.197-upd1.pdf
Стандарт DES: https://csrc.nist.gov/csrc/media/publications/fips/46/3/archive/1999-10-25/documents/fips46-3.pdf
J. Daemen. Cipher and Hash Function Design - Strategies based on linear and differential cryptanalysis. PhD Thesis, 1995.
H.M. Heys. A Tutorial on Linear and Differential Cryptanalysis // Cryptologia, 26(3):189–221 2001.
M. Matsui. Linear cryptanalysis method for DES cipher // EUROCRYPT 93. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 386--397, 1994.
Зензин О.С., Иванов М.А. Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля. М.: Кудиц-Образ, 2002.
Стандарт ECDSA: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-5.pdf
Стандарт Secure Hash Standard: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.180-4.pdf
Стандарт SHA-3: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.202.pdf
Стандарт HMAC: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.198-1.pdf
А.А. Болотов, А.В. Галатенко, М.И. Гринчук, А.А. Золотых, Л. Иванович. Методы оптимизации глубины реализации хэш-функций // Интеллектуальные системы, 17(1-4):224-229, 2013.
V.A.Shcherbacov. Quasigroups in cryptology // Computer Science Journal of Moldova, 17(2):193-228, 2009.
День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
434
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Математические модели в компьютерной безопасности

Название спецкурса на английском языке
Mathematical models in computer security
Авторы курса
Галатенко Алексей Владимирович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра МаТИС]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Стандарты в области информационной безопасности
Уровни и механизмы обеспечения безопасности компьютерных систем
Математические модели безопасности на системном уровне
Скрытые каналы передачи информации. Стеганография.
Выявление и предупреждение вторжений: сигнатурный и статистический подход
Модели защищенных баз данных
Криптографические стандарты и перспективные криптоалгоритмы
Список источников
Александров Д.Е. Эффективные методы реализации проверки содержания сетевых пакетов регулярными выражениями // Интеллектуальные системы. Теория и приложения, 18(1):37-60, 2014
Галатенко А.В. Активный аудит // JetInfo, 8:3-28, 1999
Галатенко А.В. Об автоматной модели защищенных компьютерных систем // Интеллектуальные системы, 4(3-4):263-270, 1998
Галатенко В.А. Основы информационной безопасности. Интернет-Университет Информационных Технологий, 2006.
Грушо А.А. О существовании скрытых каналов // Дискретная математика, 11(1):24-28, 1999
Грушо А.А. Скрытые каналы и безопасность информации в компьютерных системах // Дискретная математика, 10(1):3-9, 1998
Грушо А.А., Тимонина Е.Е. Теоретические основы защиты информации. ``Яхтсмен'', 1996.
Зензин О.С., Иванов М.А. Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля. М.: Кудиц-Образ, 2002
Ермохин М.А. Состоятельность долгосрочных профилей в системах выявления вторжений // Интеллектуальные системы. Теория и приложения, 20(3):199-203, 2016
Тимонина Е.Е. Скрытые каналы (обзор) // JetInfo, 14(114):3-11, 2002
Afonin S., Bonushkina A. Validation of Safety-Like Properties for Entity-Based Access Control Policies // Proceedings of the international conference "Advances in Soft and Hard Computing", 2019, 259-271
Daemen J. Cipher and Hash Function Design - Strategies based on linear and differential cryptanalysis. PhD Thesis, 1995
Javitz H.S., Valdes A. The NIDES statistical component: Description and justification // Annual report, Computer Science Laboratory, SRI International, Menlo Park, 1994
Lampson B.W. A Note on the Confinement Problem // Communications of the ACM, 16(10):613-615, 1973
Mohamed E., Belal M.A. Digital watermarking techniques, applications and attacks applied to digital media: A survey // International Journal of Engineering Research and Technology, 1(7):1-8, 2012
Moskowitz I.S., Costich O.L. A classical automata approach to noninterference type problems // Proceedings The Computer Security Foundations Workshop V, Franconia, NH, USA, 1992, pp. 2-8.
Schneier B. Applied cryptography. Protocols, algorithms and source code in C. John Wiley & Sons, 1996
Shcherbacov V.A. Quasigroups in cryptology // Computer Science Journal of Moldova, 17(2):193-228, 2009
День недели
понедельник
Время
18:30-20:05
Аудитория
434
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Динамические задачи теории упругости

Название спецкурса на английском языке
Dynamic problems of the theory of elasticity
Авторы курса
Молодцов Игорь Николаевич
Пререквизиты
Знание основных курсов Уравнений математической физики
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории упругости]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Термодинамические основы динамической теории упругости
Основные уравнения и постановки задач
Решения классических задач, допускающих точные решения, с анализом результатов
Список источников
В.Новацкий. Теория упругости
С. Де Гроот, П.Мазур. Неравновесная термодинамика
И.Н.Молодцов. Динамические задачи теории упругости
Дополнительная информация

Время чтения лекции "мигает": первая неделя - в 15:00 , вторая неделя - в 12:30.

День недели
пятница
Время
12:30-14:05
Аудитория
1213
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Нейронные сети

Название спецкурса на английском языке
Neural networks
Авторы курса
Часовских Анатолий Александрович, Половников Владимир Сергеевич, Ронжин Дмитрий Владимирович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра МаТИС]
Семестр
Год
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Биологические нейронные сети, построение математической модели. Искусственные нейронные сети. Задачи, решаемые нейронными сетями.
Модель МакКаллока-Питтса. Нейронный базис, нейронные схемы. Понятие кусочно-линейных, кусочно-постоянных и кусочно-параллельных функций в действительном многомерном пространстве.
Теорема о выразимости нейронных схем. Понятие эквивалентности. Следствие о существовании нейронной схемы нелинейной глубины не более двух.
Теорема о существовании нейронных функций не представимых нейронными схемами нелинейной глубины один. Критерий однослойности нейронных схем.
Задача проверки полноты в пространстве кусочно-параллельных функций.
Теорема о нелинейной сложности нейронных схем без памяти.
Персептрон. Строгая линейная отделимость. Алгоритм Розенблатта. Теорема Новикова.
Алгоритмы обучения (алгоритм обратного распространения ошибки и его вариации), выбор гиперпараметров. Функции потерь.
Разнообразие архитектур нейронных сетей. Свёрточные нейронные сети. Базовые слои и принципы построения сети.
Сложности процедуры обучения нейронных сетей. Затухающие градиенты, градиентный взрыв, переобучение. Регуляризация, слой dropout, пакетная и другие виды нормализации. Подходы к инициализации весов.
Открытые базы данных MNIST, CIFAR, ImageNet, MS COCO, Pascal VOC и др. Платформа Kaggle. Соревнования нейросетевых алгоритмов.
Задача классификации. Основные архитектуры VGG, Resnet, WideResnet, MobileNet, Inception, Xception, ConvNext.
Масштабирование нейронных сетей. Архитектура EfficientNet. Подходы к автоматическому построению архитектур (NAS).
Рекуррентные нейронные сети, блоки LSTM, GRU. Задачи обработки естественного языка и подходы к их решению с помощью рекуррентных нейронных сетей.
Механизм внимания. Трансформеры. Архитектуры BERT, GPT, LLaMA.
Трансформеры для работы с изображениями и мультимодальные системы ViT, BEiT, CLIP.
Задача детектирования. Классические подходы: гистограммы ориентированных градиентов (HOG+SVM), модель деформируемых частей (DPM).
Список источников
Хайкин С. «Нейронные сети: полный курс», Вильямс 2006
Гудфеллоу Я., Бенджио И. «Глубокое обучение», ДМК Пресс, 2017
Ф. Шолле «Глубокое обучение на Python», Питер, 2018 г.
Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990
Половников В.С. «Об оптимизации структурной реализации нейронных сетей» диссертация на соискание степени кандидата наук, 2007
O. Russakovsky, J. Deng, H. Su, J. Krause, S. Satheesh, S. Ma, Z. Huang, A. Karpathy, A. Khosla, M. Bernstein, et al. «Imagenet large scale visual recognition challenge», 2014 http://www.image-net.org/
Tsung-Yi Lin, Michael Maire, Serge Belongie, Lubomir Bourdev, Ross Girshick, James Hays, Pietro Perona, Deva Ramanan, C. Lawrence
Zitnick, Piotr Dollár «Microsoft COCO: Common Objects in Context» https://arxiv.org/abs/1405.0312 http://cocodataset.org
Everingham, M., Eslami, S. M. A., Van Gool, L., Williams, C. K. I., Winn, J. and Zisserman, A. «The PASCAL Visual Object Classes Challenge: A Retrospective» International Journal of Computer Vision, 111(1), 98-136, 2015 http://host.robots.ox.ac.uk/pascal/VOC/
Lecun, Yann & Bottou, Leon & Bengio, Y & Haffner, Patrick. «Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition», 1998 Proceedings of the IEEE. 86 2278 - 2324 10.1109/5.726791.
Alex Krizhevsky, Ilya Sutskever, Geoffrey Hinton «ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks», NIPS 2012
Karen Simonyan, Andrew Zisserman «Very deep convolutional networks for large scale image recognition», ICLR 2015 https://arxiv.org/abs/1409.1556
Kaiming He, Xiangyu Zhang, Shaoqing Ren, Jian Sun «Deep Residual Learning for Image Recognition» https://arxiv.org/abs/1512.03385
Christian Szegedy, Wei Liu, Yangqing Jia, Pierre Sermanet, Scott Reed, Dragomir Anguelov, Dumitru Erhan, Vincent Vanhoucke, Andrew Rabinovich «Going Deeper with Convolutions» Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pages 1–
9, 2015 https://arxiv.org/abs/1409.4842
Christian Szegedy, Vincent Vanhoucke, Sergey Ioffe, Jonathon Shlens, Zbigniew Wojna «Rethinking the Inception Architecture for
Computer Vision» https://arxiv.org/abs/1512.00567
Christian Szegedy, Sergey Ioffe, Vincent Vanhoucke, Alex Alemi «Inception-v4, Inception-ResNet and the Impact of Residual Connections
on Learning» https://arxiv.org/abs/1602.07261
Joseph Redmon, Santosh Divvala, Ross Girshick, and Ali Farhadi «You Only Look Once: Unified, Real-Time Object Detection», ECCV 2016 https://arxiv.org/abs/1506.02640
Joseph Redmon, Ali Farhadi «YOLOv3: An Incremental Improvement»
Дополнительная информация

Курс по основам искусственных нейронных сетей для студентов старших курсов и аспирантов. Изучаются математические аспекты теории нейронных сетей, доказываются теоремы в области функциональной представимости и сходимости алгоритмов обучения, рассматриваются проблемы применения нейронных сетей для решения практических задач. Изучаются различные модели и архитектуры нейронных сетей. Часть курса посвящена популярным сейчас сверточным нейронным сетям и сетям трансформерам.

День недели
среда
Время
15:00-16:35
Аудитория
434
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Нелинейные законы сохранения

Название спецкурса на английском языке
Nonlinear conservation laws
Авторы курса
Розанова Ольга Сергеевна
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Уравнения первого порядка. Законы сохранения. Линейные, квазилинейные и нелинейные уравнения. Уравнения Гамиль-тона-Якоби. Характеристики и их роль. Характеристическая система уравнений.
Формирование особенностей гладкого решения квазилиней-ного уравнения. Время образование особенности.
Обобщенное решение. Условия Рэнкина-Гюгонио. Проблема единственности обобщенного решения. Условие допустимо-сти разрыва.
Метод исчезающей вязкости для квазилинейного уравнения. Уравнение Бюргерса и его решение.
Задача Коши в классе допустимых решений. Доказательство единственности.
Существование допустимого решения задачи Коши для ква-зилинейного уравнения. Формула Лакса-Олейник.
Поведение допустимого решения задачи Коши при больших временах. Асимптотика в норме L-бесконечность. Точность оценки.
Асимптотика в норме L_1. Распад в N-волну.
Гиперболические системы законов сохранения. Истинно не-линейные и линейно вырожденные характеристические направления. Допустимость разрыва согласно Лаксу. Малые разрывы. К-волны: ударные волны, волны разрежения, кон-тактные разрывы. Однопараметрическое семейство К-волн.
Теорема о существовании допустимого решения задачи Римана для системы гиперболических уравнений.
Энтропийные критерии допустимости. Энтропийная па-ра. Построение энтропии для одного уравнения и системы двух уравнений.
Симметрические гиперболические системы и энтропия.
Примеры гиперболических систем в строгом и нестрогом смысле. Системы уравнений газовой динамики.
Инварианты Римана. Симметрическая форма гиперболи-ческой системы. Система уравнений газовой динамики в ин-вариантах.
Уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова. Суще-ствование решения в виде бегущей волны. Устойчивость это-го решения. Нахождение решения в виде асимптотического ряда.
Различные способы регуляризации невязкого уравнения Бюргерса – добавление вязких и дисперсионных членов. Ав-томодельное решение. Соотношение между порядками мало-сти вязкости и дисперсии.
Уравнение Кортевега-де Вриза. Решение в виде уединен-ной волны. Солитоны. Построение двухсолитонного решения методом Хироты.
Нелинейное уравнение Шредингера. Понятие о критиче-ской нелинейности. Метод моментов. Образование особенно-стей решения. Гидродинамическая интерпретация.
Нелинейное уравнение теплопроводности. Особенности распространения тепловых волн (конечная и бесконечная ско-рость распространения волны, гладкость решения в точках фронта, явление локализации тепла).
Список источников
С.Н.Кружков, А.Ю.Горицкий, Г.А.Чечкин. Уравнения с частными производными 1-го порядка (доступно на lib.mexmat.ru и сайте кафедры дифференциальных уравнений).
П.Д. Лакс, Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных (глава 11), РХД, 2010 (англ. издание доступно на lib.mexmat.ru).
Л.Эванс. Уравнения с частными производными, Т.Рожковская, 2003 (англ. издание доступно на lib.mexmat.ru).
L.Debnath. Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Birkhäuser Mathematics, 2012 (доступно на lib.mexmat.ru).
Додд Р., Эйлбек Дж., и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения Мир, 1988.
Дополнительная информация

С лектором можно связаться по адресу:
olga.rozanova@math.msu.ru

Курс направлен на то, чтобы познакомить слушателей с одним из интенсивно развивающихся сегодня разделов теории уравнений с частными производными - нелинейными законами сохранения. Уравнения, описывающие законы сохранения и связанные с ними, являются основным инструментом моделирования различных процессов физики, биологии, экономики, и т.д., где важным является описание явлений нелинейного переноса. Основы теории законов сохранения были заложены в середине 20 века и были мотивированы изучением процессов распространения ударных волн в воздухе. В 50-70 годы в работах И.М.Гельфанда, П.Д.Лакса, А.Майды, О.А.Олейник, С.Н.Кружкова (очень неполный перечень) были получены классические в этой области результаты, в дальнейшем продолженные в различных направлениях. Вместе с тем, существует большое количество нерешенных задач, которые могут быть сформулированы даже на элементарном уровне.
В спецкурсе рассматриваются в первую очередь, квазилинейные уравнения и системы законов сохранения первого порядка и связанные с ними уравнения и системы. Обсуждается, в частности, возможность построения точных решений, вопросы о возникновении особенностей гладких решений, типы этих особенностей, методы доказательства отсутствия гладких решений, проблемы построения обобщенных решений и возможности их регуляризации. Кроме того, рассматриваются уравнения более высоких порядков, связанные с законами сохранения добавлением специальных членов, и обсуждаются свойства, которые при этом возникают: возможность существования бегущих волн, солитонные решения, явление локализации.

Спецкурс является дополнительным к основному курсу уравнений в частных производных, где обсуждается в основном классическая теория линейных уравнений математической физики. Он призван познакомить с наиболее яркими явлениями теории нелинейных уравнений и современными методами их исследования.

День недели
четверг
Время
15:00-16:35
Аудитория
434
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
434
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Подписаться на 434