[Фонд "Институт Вега"]

Игры среднего поля (Mean Field Games или кратко MFG) — активно развивающееся направление математических исследований на стыке теории меры, теории игр, теории диффузионных процессов и теории нелинейных уравнений с частными производными. Основная задача теории игр среднего поля состоит в описании равновесия Нэша в дифференциальной игре с большим числом игроков.

В рамках данного курса будут рассмотрены элементы теории меры, включая метрику Канторовича и различные способы дифференцирования функций на пространстве вероятностных мер, уравнения непрерывности, принцип суперпозиции, принцип динамического программирования, уравнения Гамильтона-Якоби. 

Также будут выведена и исследована основная система уравнений теории игр среднего поля, исследованы стохастические игры среднего поля. Таким образом, на примере красивых и сложных задач теории игр среднего поля данный курс позволит познакомиться с полезными методами и идеями из нескольких математических дисциплин.

Курс является введением в исчисление Маллявэна, называемое также стохастическим вариационным исчислением, которое в настоящее время является основным методом исследования свойств регулярности распределений функционалов от случайных процессов. С помощью этого метода доказывается существование плотностей распределений, их ограниченность и гладкость, устанавливаются различные оценки, полезные в предельных теоремах. 

Исчисление Маллявэна также нашло эффективные применения в финансовой математике. Результатом освоения данного курса станет умение исследовать распределения от широкого класса случайных процессов, в том числе квадратичных форм, более общих многочленов, стохастических интегралов.

Курс посвящён современному разделу финансовой математики, изучающему финансовые сервисы, функционирующие в распределённой среде. Цель курса – сформировать у слушателя понимание принципов работы технологии блокчейн, функционирования цифровых валют и распределённых финансов (DeFi).

Курс содержит детальное рассмотрение примеров таких сетей, как Bitcoin и Ethereum, обзор существующего состояния сетей и методы их масштабирования. Слушатели изучат базовые концепции, необходимые для понимания технологии блокчейн, изучат свойства децентрализованных сетей, познакомятся с результатами относительно алгоритмов консенсуса, шифрования, используемых для реализации рассматриваемой технологии.

Основное внимание уделено финансовым приложениям в децентрализованых сетях, протоколам DeFi, реализующим обмен активов, кредитование, выпуск производных финансовых инструментов и стейблкоинов, включая как примеры существующих проектов, так и теоретические результаты, общие для всего класса таких инструментов, включая открытые исследовательские вопросы.

Особое внимание уделено созданию смарт-контрактов. На курсе предусмотрен ряд практических заданий для самостоятельного выполнения, которые потребуют написания кода на Python и Solidity для работы с блокчейн-данными и взаимодействия со смарт-контрактами.

Курс знакомит слушателей с основами финансовой математики, которые необходимы для базового понимания теории оценивания производных финансовых инструментов и хеджирования рисков.

Первая часть курса посвящена моделям с дискретным временем и необходимым сведениям из теории случайных последовательностей. Вторая часть посвящена модели Блэка-Шоулза и родственным моделям, а также понятиям и результатам теории случайных процессов (броуновское движение, интеграл Ито, мартингалы).

Курс посвящён программной инженерии и C++ для студентов, которые хотят расширить свои технические компетенции. C++ — это язык общего назначения, на котором традиционно создают операционные системы, высокопроизводительные серверы, компьютерные игры. 

В высокочастотной торговле C++ — незаменимый помощник, позволяющий использовать вычислительные мощности на все 100%. На C++ также разрабатывают инструменты, библиотеки и фреймворки для анализа датасетов.

Знаменитая модель Блэка-Шоулза для оценки деривативов предполагает, что волатильность базового актива постоянна. Хорошо известно, что такое предположение не согласуется с рыночными данными.

Курс посвящён моделям стохастической волатильности, в которых волатильность является изменчивой величиной. Правильное моделирование волатильности крайне важно в задачах оценивания производных инструментов.

В данном курсе будут излагаться в основном «классические» модели стохастической волатильности, начиная с моделей Блэка-Шоулза и Блэка и заканчивая результатами середины 2000-х гг.

Помимо теоретического материала, часть курса будет посвящена практическим упражнениям с реализацией моделей стохастической волатильности на языке Python.

Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses

Этот курс посвящен изучению и применению методов Монте-Карло, являющихся мощным инструментом для решения широкого спектра задач в различных областях. Обучение будет проводиться как посредством теоретического анализа, так и практической реализации изученных концепций.
Первая часть курса будет посвящена вычислительным методам (в основном, методам Монте-Карло), используемым для ценообразования производных инструментов, управления рисками, а также для оценки и калибровки моделей. Мы рассмотрим следующие темы: генерация случайных чисел, дискретизация стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), анализ результатов моделирования/симуляций, методы снижения дисперсии, моделирование копул, вычисление чувствительности опционов.

Вторая часть курса будет посвящена методам Монте-Карло по схеме марковских цепей (MCMC), включая их теоретические основы и практические применения. Будут рассмотрены алгоритмы Гиббса, Метрополиса-Гастингса, ULA, MALA, HMC и AIS. Завершающим аккордом будет изучение применения MCMC в генеративном моделировании.

Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses

Курс посвящен теории дифференциальных уравнений, управляемых нерегулярными траекториями. Такие уравнения возникают в разнообразных задачах, в которых изменение состояния системы зависит не только от длины временного промежутка и состояния системы в настоящий момент времени, но и от изменения некоторого дополнительного параметра. Например, движение автомобиля зависит не только от его положения и скорости, но и от поворота руля. Другой пример доставляют процессы, управляемые стохастическими уравнениями, когда изменение состояния системы зависит от приращения случайного процесса. Поскольку управляющая траектория нерегулярна, то линейные интерполяции (то есть приращения) плохо описывают траекторию и не позволяют построить решение соответствующего уравнения. Возникает естественный вопрос: что еще (кроме приращений) надо знать о негладкой траектории? T. Lyons предложил вместе с приращениями рассматривать повторные интегралы по траекториям, исследовал их алгебраическую структуру и построил решение уравнения в виде функции, зависящей от управляющей траектории и последовательности повторных интегралов
по этой траектории, причем оказалось, что такое сопоставление непрерывно. Дальнейшее развитие теории грубых траекторий привело к созданию M. Hairer теории регулярных структур, позволившей исследовать нелинейные стохастические уравнения с частными производными.

Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses

Теория игр – это математическая дисциплина, целью которой является моделирование различных взаимодействий живых организмов в количественном выражении. Теория игр, как универсальный метод анализа социальных взаимодействий, находит широкое применение в экономике, в теории управления, финансовой математике, эволюционной биологии, социологии, психологии и политике, при моделировании различных социальных процессов, в частности, процессов демократических выборов, процессов справедливого распределения ресурсов, процессов контроля над вооружениями и т.д.

Курс предназначен для всех желающих познакомиться с основными идеями и методами теории игр.

Теория игр является математической дисциплиной. Поэтому для полноценного понимания требуется иметь хотя бы базовые знания математического анализа, линейной алгебры, дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Тем не менее, многие идеи теории игр можно объяснить без использования серьезной математики. Чтобы сделать курс более доступным для широкой аудитории, первая его часть специально разработана для объяснения основных идей без применения продвинутой математики. Здесь мы также уделим время историческим аспектам, связанным с жизнью основателей теории. Требования к математической подготовке аудитории возрастают ко второй части курса.

Курс является ёмким и охватывает широкий круг проблем и понятий. К ним относятся равновесие Нэша, аукционы, парадокс Браеса, эгоистичная маршрутизация, метод обратной индукции, модели голосования и справедливого распределения, эволюционные игры, эволюционно-стабильные стратегии, динамическое программирование, уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, игры с бесконечным временем и компьютерные турниры. Также рассматриваются вопросы ценообразования финансовых инструментов (опционы и кредитные деривативы), теория Блэка-Шоулза и игровые опционы, игры с большим числом игроков в статистическом пределе, игры среднего поля, модели сотрудничества и по-
строения коалиций. Примеры включают в себя игры гонки вооружений, эксплуатации общих ресурсов, социальные дилеммы (битва полов, игра полового соотношения, игра в жертвование), модели инспекции и коррупции, моделирование антитеррористических мер, а также биологическую и генетическую передачу информации.

Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses

Курс "Введение в блокчейн и распределенные финансы"посвящен современному разделу финансовой математики, изучающему финансовые сервисы, функционирующие в распределенной среде. Цель курса – сформировать у слушателя понимание принципов работы технологии блокчейн, функционирования цифровых валют и распределенных финансов (DeFi).

Курс состоит из двух взаимодополняющих частей. В первой части курса слушатели изучат базовые концепции, необходимые для понимания технологии блокчейн, изучат свойства децентрализованных сетей, познакомятся с результатами относительно алгоритмов консенсуса, ширования, используемых для реализации рассматриваемой технологии. Курс содержит детальное рассмотрение примеров таких сетей, как Bitcoin и Ethereum, обзор существующего состояния сетей и методы их масштабирования. Основное внимание будет уделено финансовым приложениям в децентрализованых сетях, протоколам DeFi, реализующим обмен активов, кредитование, выпуск производных финансовых инструментов и стейблкоинов, включая как примеры существующих проектов, так и теоретические результаты, общие
для всего класса таких инструментов, включая открытые исследовательские вопросы. В курсе будет уделено особенное внимание созданию смарт-контрактов. Слушателям будет предложен ряд практических заданий для самостоятельного выполнения, которые потребуют написания кода на Python и Solidity для работы с блокчейн-данными и взаимодействия со смарт-контрактами. 

Для полноценного понимания принципов работы децентрализованных финансовых сервисов курс
предполагает погружение в методы, применяемые в классических финансах. Вторая часть курса дает
слушателям возможность узнать об использовании классической финансовой теории применительно к данным рынка цифровых валют, в частности, рассматриваются модели для ценовой динамики цифровых активов и оценки рисков, присущих данному типу активов. На протяжении всего курса особое внимание уделяется прикладным аспектам финансовых моделей для криптоактивов. Практическая часть содержит множество реальных кейсов с использованием языка программирования R.