Нестандартные модели арифметики

Название спецкурса на английском языке
Non-standard models of arithmetic
Авторы курса
Беклемишев Лев Дмитриевич, Сперанский Станислав Олегович
Пререквизиты
Отсутствуют.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Семестр
Осень
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Нестандартные модели арифметики: их существование и основные свойства. Описание порядка в нестандартных модеях арифметики.
Экскурс в формальную арифметику.
Начальные сегменты нестандартных моделей PA. Теорема Париха о 𝜋2-следствиях для подсистемы 𝐼Δ0.
Подсистема PA- и её модели. Теорема о том, что у каждой разрешимой теорий есть вычислимая модель, и её релятивизации.
Теорема Тенненбаума и вариации на неё.
Определимые элементы в моделях PA. Простые модели для расширений PA.
Аксиомы ограниченности (коллекции). Подсистемы IΣ𝑛 и I𝛱𝑛.
Σ𝑛-определимые элементы и Σ𝑛-элементарные начальные сегменты. Результаты о консервативности и независимости для подсистем PA.
Теоремы Париса–Харрингтона и Канамори–Макалуна.
Список источников
G.S. Boolos, J.P. Burgess, R.C. Jeffrey, Computability and Logic. 5th edition. Cambridge University Press, 2007.
P. Hájek, P. Pudlák, Metamathematics of First-Order Arithmetic. Springer, 1993.
R. Kaye, Models of Peano Arithmetic. Oxford University Press, 1991.
R. Kossak, J. Schmerl, The Structure of Models of Peano Arithmetic. Oxford University Press, 2006.
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2629

День недели
вторник
Время
15:00-16:35
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Функциональные интегралы и их приложения в квантовой теории и статистической механике

Название спецкурса на английском языке
Functional integrals and their applications in quantum theory and statistical mechanics
Авторы курса
Сакбаев Всеволод Жанович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Предельные распределения композиций случайных операторов
Закон больших чисел
Слабая сходимость мер
Список источников
Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, О. Г. Смолянов, “Неограниченные случайные операторы и формулы Фейнмана”, 2016
В. М. Бусовиков, Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, “Унитарное представление блужданий вдоль случайных векторных полей и уравнение Колмогорова–Фоккера–Планка в гильбертовом пространстве”, 2024
Г. Г. Амосов, А. М. Бикчентаев, В. Ж. Сакбаев, “О крайних точках множеств в пространствах операторов и пространствах состояний”, 2024
Р. Ш. Кальметьев, Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, “Обобщенные когерентные состояния и случайные операторы сдвига”, 2024
Vsevolod Zh. Sakbaev, “Flows in infinite-dimensional phase space equipped with a finitely-additive invariant measure”, 2023
Дополнительная информация

Выше представлены темы нескольких первых лекций. 

Список тем будет пополняться на странице спецкурса (https://www.mathnet.ru/conf2392) в течение осеннего семестра.

 

День недели
понедельник
Время
09:00-10:35
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Модальные логики предикатов и их модели

Название спецкурса на английском языке
Modal predicate logics and their models
Авторы курса
Шехтман Валентин Борисович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Предикатный синтаксис: формулы, замена переменных, формульные подстановки.
Суперинтуиционистские и модальные предикатныe логики, их связь.
Семантика Крипке, теорема корректности.
Предикатные логики с равенством.
Шкалы Крипке с равенством. Пучки Крипке.
Канонические модели Крипке. Теоремы о полноте семантики Крипке.
Применения теорем о полноте: дизъюнктивное и экзистенциальное свойство, консервативность.
Семантика расслоений Крипке.
Функциональная семантика Гиларди.
Теоремы о неполноте семантики Крипке.
Меташкалы и симплициальные шкалы. Теорема о полноте симплициальной семантики.
Гейтинговы и модальные алгебры.
Алгебраическая семантика предикатных логик.
Неразрешимость в логиках предикатов.
Список источников
D. Gabbay, V. Shehtman, D. Skvortsov, Quantification in nonclassical logic, v. 1. Elsevier,2009.
А.Г. Драгалин, Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М.: Наука, 1979.
M. Fitting, R. Mendelsohn, First-order modal logic. Kluwer, 1998.
D.M. Gabbay, Semantical investigations in Heyting's intuitionistic logic. Synthese Library, 148. Reidel, 1981.
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2476.

День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Введение в теорию оптимального управления для задач с бесконечным горизонтом в экономике

Название спецкурса на английском языке
Introduction to the theory of optimal control for problems with an infinite horizon in economics
Авторы курса
Асеев Сергей Миронович
Пререквизиты
Знание основ теории меры и интеграла Лебега, а также теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Желательно знакомство с принципом максимума Понтрягина.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Постановки задач оптимального управления на конечном и бесконечном интервалах времени. Сведение задачи со случайным временем остановки к задаче на бесконечном интервале времени. Примеры: модель Рамсея, модель оптимального инвестирования в основные производственные фонды предприятия, модель оптимальной эксплуатации невозобновляемого ресурса.
Допустимые процессы. Условия регулярности процессов в задачах оптимального управления.
Сильная оптимальность, конечная оптимальность и слабо обгоняющая оптимальность в задачах с бесконечным горизонтом.
Автономная задача с экспоненциальным дисконтированием. Совместимость дисконтирования со сдвигами по времени.
Общий вариант принципа максимума Понтрягина для задач с бесконечным горизонтом. Основные соотношения принципа максимума. Условия трансверсальности на бесконечности.
Достаточные условия слабо обгоняющей оптимальности для задач с бесконечным горизонтом.
Существование сильно оптимального управления в автономной задаче с экспоненциальным дисконтированием.
Конечновременные аппроксимации автономных задач с экспоненциальным дисконтированием.
Условие доминирования дисконтирующего множителя. Полный вариант принципа максимума Понтрягина для автономной задачи с экспоненциальным дисконтированием в случае доминирования дисконтирующего множителя.
Метод динамического программирования и принцип максимума Понтрягина. Экономическая интерпретация принципа максимума.
Условие роста. Функция условной стоимости и её дифференцируемость.
Полный вариант принципа максимума Понтрягина для общей нелинейной задачи с бесконечным горизонтом в случае выполнения условия роста.
Список источников
Асеев С.М., Функция условной стоимости и необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 514 (2023), № 1, с. 5-11.
Асеев С.М., Кряжимский А.В., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН, 257 (2007), с. 5-251, 2007.
Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В., Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // УМН, 67 (2012), № 2, с. 3-64.
Асеев С.М., Вельов В.М., Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // УМН, 74 (2019), № 6, с. 3-54.
Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х., Экономический рост. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
Aseev S.M., Veliov V.M., Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Труды ИММ УрО РАН, 20 (2014), № 3, с. 41–57.
Caputo M.R., Foundations of dynamic economic analysis. Optimal control theory and applications, Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
Carlson D.A., Haurie A.B., Leizarowitz A., Infinite horizon optimal control. Deterministic and stochastic systems, Berlin: Springer, 1991.
Dorfman R., An economic interpretation of optimal control theory // American Economic Revew, 59 (1969), p. 817-831.
Ramsey F.P., A mathematical theory of saving // Econ. J., 38 (1928), p. 543-559.
Seierstad A., Sydsæter K., Optimal control theory with economic applications, North Holland, 1987.
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2472.

День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Универсальная алгебра и алгебраическая логика

Название спецкурса на английском языке
Universal algebra and algebraic logic
Авторы курса
Сперанский Станислав Олегович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Краткий экскурс в классическую логику первого порядка.
Гомоморфизмы, подалгебры и конгруэнции. Теорема о гомоморфизме.
Прямые произведения. Прямые и подпрямые разложения.
Свободные алгебры. Теорема Биркхоффа о многообразиях.
Решётки. Теорема Кнастера-Тарского.
Булевы алгебры и булевы кольца.
Представление булевых алгебр. Фильтры.
Ультрафильтры и дуальность Стоуна.
Краткий экскурс в неклассические логики.
Модальные алгебры и алгебраическая семантика для пропозициональной модальной логики K.
Гейтинговы (псевдобулевы) алгебры и алгебраическая семантика для пропозициональной интуиционистской логики Int.
Применения универсальной алгебры в изучении решёток расширений K и Int.
Список источников
S. Burris, H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra. Springer, 1981.
S. Givant, P. Halmos, Introduction to Boolean Algebras. Springer, 2009.
A. Chagrov, M. Zakharyaschev, Modal Logic. Oxford University Press, 1997.
D.M. Gabbay, L. Maksimova, Interpolation and Definability: Modal and Intuitionistic Logics. Oxford University Press, 2005.
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2470.

День недели
вторник
Время
15:00-16:35
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Сложность неклассических логик

Название спецкурса на английском языке
Complexity of non-classical logics
Авторы курса
Кудинов Андрей Валерьевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Введение в теорию алгоритмической сложности (понятие сложностных классов с ограничениями по времени и по памяти). Пример неразрешимой задачи.
Сложностные классы P, NP, coNP, PSPACE, EXPTIME и другие. Их взаимосвязь.
Полные задачи для классов сложности. Классические примеры полных задач: замощения, выполнимость формул и т.д.
Краткое введение в интуиционистскую и модальную логику, семантика Крипке.
Доказательство того, что логика S5 coNP полна.
Доказательство того, что логики Int, K, K4, S4 PSPACE полны.
Пример неразрешимой логики с несколькими модальностями.
Добавление универсальной модальности и транзитивного замыкания и влияние этого на сложность логик.
Соединение логик и их сложность.
Произведения модальных логик. Сложность произведений. Сложность логик S5×S5 и K×K.
Неразрешимость K4×K4 и S5×S5×S5.
Ненормальные модальные логики. Окрестностная семантика. Сложность ненормальных модальных логик E, EM, EC.
Список источников
В.Н. Крупский, Введение в сложность вычислений. Москва: Факториал, 2006.
A. Kurucz, F. Wolter, M. Zakharyaschev, Dov M. Gabbay, Many-Dimensional Modal Logics: Theory and Applications, Vol. 148, Elsevier, 2003.
M. Marx, Complexity of Modal Logic. Chapter 3, in: Handbook of Modal Logic, Elsevier, 2006, Editors: P. Blackburn, J. F.A.K. van Benthem, F. Wolter.
E. Spaan, Complexity of Modal Logics. Doctoral thesis, University of Amsterdam (2016).
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2469.

День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Векторные расслоения на проективных пространствах

Название спецкурса на английском языке
Vector bundles on projective spaces
Авторы курса
Фонарёв Антон Вячеславович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Векторные расслоения и когерентные пучки.
Когомологии когерентных пучков и основные теоремы.
Классы Черна.
Теорема Гротендика, прямые подскока, критерий Хоррокса.
Расслоения с различными свойствами: равномерные расслоения, пример Танго, конструкция Серра.
Топологическая классификация.
Стабильность по Мамфорду и Гизекеру.
Расщепление стабильных расслоений.
Теорема Бейлинсона.
Пространства модулей.
Список источников
А. В. Фонарёв, “Производная категория пространства модулей параболических расслоений на P1”, 2023
А. В. Фонарёв, “Двойственные исключительные наборы на лагранжевых грассманианах”, 2023
A. V. Fonarev, “Derived categories of Grassmannians: a survey”, 2024
A. V. Fonarev, “Derived category of moduli of parabolic bundles on P1”, 2023
Anton Fonarev, “Full Exceptional Collections on Lagrangian Grassmannians”, 2022
Anton Fonarev, Alexander Kuznetsov, “Derived categories of curves as components of Fano manifolds”, 2018
Anton Fonarev, “Irreducible Ulrich bundles on isotropic Grassmannians”, 2016
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2468.

День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Вероятность в пространствах высокой размерности и приложения

Название спецкурса на английском языке
Probability in high-dimensional spaces and applications
Авторы курса
Наумов Алексей Александрович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Введение в теорию концентрации меры; тензоризация дисперсии.
Оценка Чернова, неравенство Хеффдинга; приложения к многоруким бандитам; исследование среды и оптимизм перед лицом неопредеденности.
Неравенство Бернштейна.
Субгауссовские и субэкспоненциальные случайные величины.
Концентрация на сфере и гауссовская концентрация; лемма Джонсона-Линденштрауса о снижении размерности.
Матричное неравенство Бернштейна.
Приложения к поиску сообществ в сетях и рандомизированным алгоритмам вычислительной математики; оценивание ковариационных матриц и проекторов.
Неравенство Пуанкаре и cходимость марковских процессов; приложения к диффузионным алгоритмам МСМС.
Метод Стейна.
Список источников
Götze F., Naumov A., Spokoiny V., Ulyanov V. V., “Large ball probability, Gaussian comparison and anti-concentration”, Bernoulli, 15:4(A) (2019), 2538-2563
Naumov A., Spokoiny V., Ulyanov V. V., “Bootstrap confidence sets for spectral projectors of sample covariance”, Probability theory and related fields, 174:3-4 (2019), 1091-1132
Goetze F., Naumov A.A., Tikhomirov A., Timushev D., “On the local semicircular law for Wigner ensembles”, Bernoulli, 24:3 (2018), 2358-2400
Kaledin M., Moulines E., Naumov A., Tadic V., Wai H., “Finite Time Analysis of Linear Two-timescale Stochastic Approximation with Markovian Noise”, Proceedings of Thirty Third Conference on Learning Theory, Proceedings of Machine Learning Research, 125, PMLR, 2020, 2144-2203
Tiapkin D., Belomestny D., Moulines E., Naumov A., Samsonov S., Tang Y., Valko M., Menard P., “From Dirichlet to Rubin: Optimistic Exploration in RL without Bonuses”, Proceedings of the 39th International Conference on Machine Learning, Proceedings of Machine Learning Research, 162, PMLR, 2022, 21380-21431
Дополнительная информация

Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2467.

День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.