[Институт теоретической и математической физики]

Общая конструкция канонического оператора
Лагранжевы многообразия с комплексным ростком
Канонический оператор на лагранжевом многообразии с комплексным ростком
Приложения к конкретным задачам

Неограниченные операторы. Область определения. График. Плотная определенность, замыкаемость, замкнутость. Симметрические операторы. Сопряжённый оператор. Замыкаемость и плотная определенность сопряженного оператора.
Теорема о замкнутом графике.
Спектр и резольвентное множество неограниченных операторов. Резольвента и ее свойства. Классификация частей спектра.
Симметрические и самосопряженные операторы. Преобразование Кэли. Самосопряженные расширения и их описание по фон Нейману. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных операторов.
Расширение полуограниченного симметрического оператора по Фридрихсу.
Самосопряженные расширения и задачи с точечными потенциалами.
Однопараметрические полугруппы и их генераторы. Теорема Хилле-Филлипса-Иосиды.
Периодические задачи. Спектр периодического оператора Штурма–Лиувилля на прямой.
Преобразование Фурье. Пространства Соболева и их свойства.
Функции от ограниченных операторов: определение с помощью интеграла Коши и (для самосопряженных операторов) с помощью преобразования Фурье.
Функции от одного оператора как непрерывный гомоморфизм алгебры символов (содержащей многочлены) в алгебру операторов.
Функции от нескольких операторов: фейнмановские номера. Определение через пополнение тензорного произведения пространств одномерных символов.
Основные правила вычислений с выражениями, содержащими функции от некоммутирующих операторов. Примеры: ряд Ньютона, формула для коммутатора, теорема единственности для функций от одного оператора, формула для первого члена ряда теории возмущений для собственных значений.
Левое и правое регулярное представление ассоциативной алгебры, оператор $ad$. Общая формула дифференцирования функции от элемента алгебры. Формула Далецкого–Крейна.
Алгебры Ли и группы Ли. Теорема Кэмпбелла–Хаусдорфа–Дынкина и ее доказательство.
Левое и правое упорядоченное представления набора упорядоченных операторов. Теорема о композиции и ее доказательство (для полиномиальных символов). Пример: вычисление представления для операторов $x$ и $-ih\frac{d}{d x}$ . Левое и правое упорядоченные представления для соотношения $[A,B]=-iB$.
Функции класса $S^\infty$ от упорядоченных операторов-генераторов в гильбертовой шкале. Упорядоченное представление нильпотентной алгебры Ли и уравнения для его вычисления. Пример вычисления представления этим методом (для алгебры Гейзенберга).

Функторы Tor и Ext (определение, свойства и приложения).
Спектральные последовательности (определение и применения).
Когомологии ассоциативных алгебр и алгебр Ли (бар-резольвента, резольвента Шевалле-Эйленберга и т.п.).