[Кафедра теоретической механики и мехатроники]

Спецкурс посвящен вопросам математической теории устойчивости. В нем рассматриваются метод функций Ляпунова, теория Флоке-Ляпунова, методы исследования устойчивости и ветвления в критических случаях (одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней, особенного случая нескольких нулевых корней и т.п.). Теоретические вопросы сопровождаются механическими примерами.

Спецкурс содержит изложение некоторых задач и методов прикладной небесной механики, которые, с одной стороны, находят широкое применение в космической баллистике, а с другой стороны, тесно связаны с задачами и методами классической небесной механики. Спецкурс рассчитан на один семестр и предназначен для студентов 3-го курса. Цель спецкурса – первое ознакомление студентов с предметом, поэтому все математические выкладки, которыми насыщена небесная механика, проведены с большой подробностью. Темы спецкурса включают детально исследование задач, являющихся содержательными примерами использования общих методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, с которыми студенты познакомились в базовых курсах математики и механики, а также современные методики баллистического проектирования межпланетных перелетов .

В спецкурсе излагаются основы математической теории устойчивости стационарных систем (теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости, теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости, теорема Красовского о неустойчивости, теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем (теоремы Лагранжа, Рауса, Кельвина-Четаева и их модификации) и основы теории бифуркации (ветвление решений, рождение предельных циклов, бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла и т.п.). Общие положения иллюстрируются многочисленными примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях.

Курс состоит из нескольких независимых тем и имеет целью показать разнообразие задач и методов теории динамических систем. Часть излагаемого материала — классика, часть представляет собой результаты, полученные за последние 20 лет. Необходимый математический аппарат, находящийся за рамками стандартных курсов анализа, вводится по ходу изложения. Теория иллюстрируется примерами из механики.

Обсуждается задача о движении тела в среде с позиции теоретической механики, отталкиваясь от классических работ Н.Е. Жуковского. Создаётся механико-математическая модель движения тела в среде в виде динамической системы, содержащей некоторое количество параметров. Построение фазового портрета модельной динамической системы – эффективный способ качественного анализа. Параметрический анализ системы проводится параллельно с описанием эволюции фазового портрета. В спецкурсе рассматриваются следующие задачи: летательный аппарат, парусный буер, поведение тел на ветру, вертушки как ветроприёмные элементы энергетических устройств.

Классическая динамика неголономных систем, с одной стороны, имеет примерно полуторавековую историю, а с другой – всё ещё, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько – во первых – в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и – во вторых – в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространённому мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решённых задач, поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.
Неголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла, в теории движения автомобиля, в теории взаимодействия колеса и дороги, в теории движения электрических машин и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов.
Цель курса состоит в том, чтобы познакомить слушателей с общими принципами и методами неголономной механики и дать им представление об основных новых методах неголономной механики, научить их решать широкий класс задач, а также сформировать их культурные и профессиональные навыки. В результате работы над данным курсом слушатели должны овладеть основными новыми методами неголономной механики, позволяющими, в частности, быстро и эффективно, получать уравнения движения систем с дифференциальными связями и проводить анализ этих уравнений. Слушатели должны научиться теоретическому мышлению на новом уровне, включающем в себя применение полученных теоретических знаний к решению актуальных задач механики.

Спецкурс посвящен приближенным методам анализа механических систем. Для регулярно возмущенных систем излагаются метод малого параметра и теорема Пуанкаре, метод усреднения и теоремы Боголюбова-Митропольского для систем с одной быстрой переменной, а также для систем с несколькими быстрыми переменными как в нерезонансном, так и в резонансном случаях. В качестве примеров рассматриваются уравнение Ван-дер-Поля, бифуркация Андронова-Хопфа, маятник с вибрирующей точкой подвеса, адиабатические инварианты и т.п. Для сингулярно возмущенных систем излагаются теоремы Тихонова и Феничеля. Дается обоснование предельного перехода от систем с трением к неголономным системам. В качестве примеров рассматривается задача о движении саней Чаплыгина-Каратеодори.

Рассматриваются подходы Больцмана и Гиббса к основаниям статистической механики. Обсуждается связь между гамильтоновыми системами, статистической механикой и равновесной термодинамикой. Эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Кинетическое уравнение Больцмана служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов. В рассмотрении Гиббса на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры - фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Этот общий подход полезен, в частности, для обоснования термодинамики. При переходе от микроуровня к макроуровню описания достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

В спецкурсе излагаются основные принципы (принцип Даламбера-Лагранжа, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби и принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) и уравнения аналитической механики (уравнения Лагранжа, Рауса, Гамильтона, Аппеля, Якоби, Уиттекера). Излагаются фундаментальные проблемы гамильтоновой механики (канонические преобразования, теория Гамильтона-Якоби, переменные действие-угол, теория возмущений). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем, в частности вопросы понижения порядка, построения эффективного потенциала, определения стационарных движений и инвариантных множеств и условий их устойчивости. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Также обсуждаются основные методы и теоремы КАМ теории.