Алгоритмы в теории чисел

Название спецкурса на английском языке
Algorithms in number theory
Авторы курса
Галочкин Александр Иванович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Алгоритм возведения в степень.
Алгоритмы нахождения НОД.
Решение сравнений первой и второй степеней.
Решение полиномиальных сравнений по простому модулю.
Алгоритмы отбрасывания составных чисел.
Построение "больших " простых чисел.
Разложение на простые множители.
Дискретные логарифмы.
Криптографические схемы.
Список источников
О.Н Герман, Ю.В.Нестеренко. Теоретико-числовые методы в криптографии.
О.Н.Василенко. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии М.МЦНМО, 2006.
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
409
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
409
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Геометрические аспекты теории чисел

Название спецкурса на английском языке
Geometric aspects of number theory
Авторы курса
Герман Олег Николаевич
Пререквизиты
Основы матанализа, алгебры и теории чисел
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Геометрия чисел
Диофантовы приближения
Диофантовы уравнения
Цепные дроби
Алгебраические и трансцендентные числа
Мера иррациональности и мера трансцендентности
Список источников
В.М.Шмидт "Диофантовы приближения"
Дж.В.С.Касселс "Введение в геометрию чисел"
Y.Bugeaud "Approximation by algebraic numbers"
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1224
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Теория дзета-функции Римана

Название спецкурса на английском языке
Theory of the Riemann zeta function
Авторы курса
Преображенская Татьяна Анатольевна
Пререквизиты
Владение аппаратами математического анализа, комплексного анализа
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди . Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение .
Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями , лежащими на критической прямой.
Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции через нули . Формула Сельберга.
Асимптотические законы распределения простых чисел.
Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для.
Оценки дзетовой суммы.
Современная граница нулей
Список источников
Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана.- М.: Физматлит, 1994.
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел.- М.: Едиториал УРСС, 2004.
Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.
H. Iwaniec. Lectures on the Riemann Zeta Function. Rutgers, Fall 2012.
Дополнительная информация

спецкурс является продолжением курса "Введение в теорию дзета-функции Римана"

День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
409
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
409
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Бинарные квадратичные формы

Название спецкурса на английском языке
Binary quadratic forms
Авторы курса
Ахунжанов Ренат Камилевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов.
Уравнение Пелля.
Классы эквивалентности бинарных квадратичных форм.
Группа целочисленных автоморфизмов бинарной формы с целыми коэффициентами.
Теория приведения бинарных квадратичных форм.
Представление натуральных чисел бинарными квадратными формами.
Список источников
Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
Бугаенко В. О. Уравнение Пелля. М.: МЦНМО, 2001.
Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.
Дирихле П. Г. Л. Лекции по теории чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. М.: МЦНМО, 2008.
Дополнительная информация

Для записи на спецкурс надо обратиться к Р.К. Ахунжанову по адресу renat.akhunzhanov@math.msu.ru

День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Проблема Варинга для кубов

Название спецкурса на английском языке
Waring problem for cubes
Авторы курса
Королёв Максим Александрович
Пререквизиты
Для участия (именно так!) в
спецкурсе требуется знание основ математического анализа и знакомство с
комплексными числами.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Аддитивные задачи. Запись числа решений аддитивной задачи с помощью тригонометрического интеграла. Тригонометрические суммы.
Тригонометрические суммы с многочленом в экспоненте. Рациональные тригонометрические суммы. Формулы суммирования Абеля и Эйлера-Маклорена. Поведение тригонометрической суммы в окрестности рациональной точки.
Теорема Дирихле о приближениях. Разбиение единичного отрезка на «большие дуги» и «малые дуги».
Вычисление вклада в формулу для числа решений от «больших дуг».
Метод Г.Вейля оценок тригонометрических сумм с показателем в экспоненте.
Оценка вклада в формулу для числа решений от «малых дуг».
Вывод асимптотической формулы для числа представлений целого N суммою k>9 положительных кубов.
Теорема Хуа Ло-кена об оценке чётного момента тригонометрической суммы. Вывод асимптотики для числа представлений N суммою 9 кубов.
Представимость чисел суммою 8 неотрицательных кубов.
Представимость чисел суммою 7 неотрицательных кубов.
Список источников
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел
Дополнительная информация

В 1770 году английский математик Эдвард Варинг
сформулировал следующее утверждение: «каждое натуральное число или
само является кубом или суммой двух, трех, 4, 5, 6, 7, 8, или девяти кубов, а
также квадрат-квадратом или суммой двух, трех, … , вплоть до девятнадцати
таковых, и так далее». В современной постановке эта задача, получившая
название «проблемы Варинга», формулируется так: доказать, что для любого
целого n существует G(n), зависящее лишь от n и такое, что всякое натуральное
число N представимо суммою  G(n) штук n-х степеней неотрицательных целых
чисел. Размышления над этой задачей вызвали к жизни появление мощных и
красивых методов, одним из которых является «круговой метод», созданный
Г. Харди, Дж. Литтлвудом, С. Раманужаном и усовершенствованный
И.М. Виноградовым. На занятиях мы познакомимся с основами кругового
метода на примере аккуратного вывода асимптотической формулы для
количества представлений любого достаточно большого числа суммою
десяти (для начала) и девяти (напоследок) кубов.

День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
424
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена

Арифметические свойства значений модулярных функций

Название спецкурса на английском языке
Arithmetic properties of values of modular functions
Авторы курса
Нестеренко Юрий Валентинович
Пререквизиты
Для понимания курса необходимо будет владеть основными понятиями Математического анализа и ТФКП. Остальное будет сформулировано и объяснено на лекциях.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Выражение любой модулярной функции веса 0 через j(𝜏). Дифференциальные уравнения для рядов Эйзенштейна. Модулярное уравнение для j(𝜏). Алгебраичность значений модулярного инварианта в мнимых квадратичных точках. Теорема Шнейдера-Ленга (без доказательства). Трансцендентность модулярного инварианта j(𝜏) в алгебраических точках степени большей двух.
Кольцо R=K[x_0, … ,x_m], где K - конечное расширение поля рациональных чисел Q или поля рациональных функций C(z). Форма Чжоу однородных несмешанных идеалов I⸦R, их характеристики и свойства.
Критерий алгебраической независимости чисел.
Оценка кратностей нулей многочленов от решений алгебраических дифференциальных уравнений.
Степень трансцендентности поля, порождённого над Q значениями рядов Эйзенштейна. Следствия об алгебраической независимости и трансцендентности π, e^π, значений гамма-функции Эйлера в точках 1/4 и 1/3 , других чисел.
Список источников
Гурвитц А., Курант Р., Теория функций, М., Наука, 1968.
Ленг С, Эллиптические функции, М., Наука, 1984.
Lапg S., Elliptic functions. Diophantine analysis, Springer, 1978.
Серр Ж.П., Курс арифметики, М., Мир, 1972.
Nesterenko Yu.V., Algebraic independence, Narosa, New Delhi, 2009.
Дополнительная информация

Время проведения занятий с 13:15  до 14:50 в ауд 436 (2 ГУМ)

День недели
среда
Время
12:30-14:05
Аудитория
436
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Модулярные функции

Название спецкурса на английском языке
Modular functions
Авторы курса
Нестеренко Юрий Валентинович
Пререквизиты
Для понимания курса необходимо будет владеть основными понятиями Математического анализа и ТФКП. Остальное будет сформулировано и объяснено на лекциях.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории чисел]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Эллиптические функции и их свойства. Функции Вейерштрасса. Дифференциальное уравнение и теорема сложения для функции ℘(z). Условия алгебраической зависимости функций ℘(z) с различными периодами. Точки конечного порядка. Многочлены деления. Рекуррентные уравнения для многочленов деления.
Модулярная группа. Ряды Эйзенштейна и их свойства. Разложение в ряд Фурье рядов Эйзенштейна. Модулярные функции и формы. Нули и полюсы модулярной функции веса 2k. Дискриминант ∆(𝜏) и модулярный инвариант j(𝜏). Строение алгебры модулярных форм. Базис в пространстве модулярных форм заданного веса. Размерность этого пространства. Необращение в нуль дискриминанта и разрешимость уравнения j(𝜏) = с при любом комплексном с. Параметризация любой эллиптической кривой y^2= x^3- ax - b эллиптическими функциями Вейерштрасса. Целость коэффициентов рядов Фурье дискриминанта и модулярного инварианта.
Список источников
Гурвитц А., Курант Р., Теория функций, М., Наука, 1968.
Ленг С, Эллиптические функции, М., Наука, 1984.
Lапg S., Elliptic functions. Diophantine analysis, Springer, 1978.
Серр Ж.П., Курс арифметики, М., Мир, 1972.
Nesterenko Yu.V., Algebraic independence, Narosa, New Delhi, 2009.
Дополнительная информация

Время проведения занятий с 13:15  до 14:50 в ауд 436 (2 ГУМ)

День недели
среда
Время
по согласованию
Аудитория
436
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Подписаться на [Кафедра теории чисел]