[Кафедра теории вероятностей]

Винеровский процесс, определения (без фильтрации и с таковой). Понятие о построении/существовании ВП. Квадратическая вариация ВП.
Определение мартингала, суб- и супер-мартингала. Мартингальные неравенства (Дуба-Колмогорова, Дуба, Ито-Скорохода).
Определение стохастического интеграла Ито (СИ) и его основные свойства, вместе с
леммой Дуба о замыкании с использованием подынтегрального процесса для построения приближающего ступенчатого, и с построением СИ с переменным верхним пределом и свойством непрерывности по верхнему пределу.
Моменты остановки для заданной фильтрации. СИ до момента остановки, равенство трех определений.
СИ по многомерному ВП и СИ при условии квадратичной интегрируемости лишь п.н.
Всевозможные версии формулы Ито. Схема доказательства, строгого и «на пальцах».
Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ), теорема Ито о существовании и единственности решения.
Априорные оценки второго и высших моментов решения.
Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от н.у.
Марковское свойство решения СДУ. Понятие о феллеровском и строго марковском свойствах.
Принцип Ямада — Ватанабе.
Потраекторная единственность и сильное решение: упрощенный вариант теоремы «Накао — Звонкин».
Теорема о потраекторной единственности Ямада — Ватанабе.
Понятие о повторных стохастических интегралах и винеровском хаосе, метод Крылова.
Стохастические экспоненты. Мартингальное свойство при ограниченном сносе. Условие Новикова и доказательство его упрощенной версии.
Теоремы Гирсанова о стохастических экспонентах и о замене меры, включая построение слабого решения СДУ с борелевским сносом и единичной диффузией.
Экспоненциальная оценка для СИ.
Теоремы Скорохода об эквивалентных случайных процессах (без доказательства) и о слабом решении СДУ при непрерывных ограниченных коэффициентах.
Оценки Крылова и теорема Крылова о слабом решении СДУ.
Оценки Крылова и формулы Ито-Крылова с соболевскими производными.
СДУ и случайная замена времени.
СДУ на полупрямой с отражением.
Связь задачи Коши для уравнения теплопроводности и ВП.
Уравнения Лапласа и Пуассона в области с граничными условиями Дирихле и связь с ВП; замечание о существовании классического решения уравнения теплопроводности.
Связь задачи Коши для общего параболического уравнения и общих СДУ.
Общие эллиптические уравнения в области с граничными условиями Дирихле и СДУ.
Анализ свойств возвратности и транзиентности ВП в евклидовых пространствах различных размерностей.
Инвариантные меры для решений однородных СДУ. Конструкция Хасьминского инвариантной меры и достаточное условие Хасьминского: положительная возвратность процесса.
Достаточное условие положительной возвратности в терминах коэффициентов СДУ, связь с оценками скорости сходимости к инвариантной мере и с решениями уравнений Пуассона «во всем пространстве».
Процесс Орнштейна — Уленбека: переходная плоность, инвариантная мера, скорость сходимости.
Достаточное условие экспоненциальной возвратности решения СДУ в терминах коэффициентов; экспоненциальные оценки скорости сходимости к инвариантной мере: метод пересечений и метод каплинга.
Уравнения Маккина - Власова, его связь с "распространением хаоса"; существование слабых решений, теоремы о слабой и сильной единственности.

Обзор основных вероятностных моделей, мотивированных системами частиц, рассматриваемыми в статфизике, гидродинамике, компьютерных науках
Пространственно-временные скейлинги как метод математически строгого вывода уравнений математической физики и механики
Последовательные временные фазы в поведении марковской системы броуновских частиц с синхронизацией
Мультиагентная модель образования цены на рынке, основанная на системе частиц с аннигиляцией

Случайные процессы и динамические системы
Стохастические свойства
Эргодические теоремы
Свойства возвращаемости
Спектр эргодических систем
Энтропия Колмогорова-Синая
Коциклы динамических систем
Гиперболические системы

Выбор надлежащей модели для исследования реальных явлений и процессов
Модели входа-выхода и интерпретация их параметров для различных приложений
Риски и их коассификация

Пуассоновский процесс. Процессы Кокса.
Пространственный пуассоновский случайный процесс. Функционал Лапласа. Теорема о характеризации пространственного пуассоновского процесса с помощью функционала Лапласа.
Маркированный пуассоновский процесс как пространственный процесс. Применения в теории массового обслуживания.
Энергия и потенциал. Канонический потенциал. Формула Мебиуса. Существование канонического потенциала. Гиббсовские случайные поля, заданные на конечном графе и принимающие конечное число значений. Клики и потенциал ближайших соседей.
Марковские случайные поля, заданные на конечном графе и принимающие конечное число значений. Теорема Аверинцева – Клиффорда – Хаммерсли (об эквивалентности описания гиббсовских и марковских случайных полей на конечном графе).
Виды зависимости систем случайных величин. Статистический анализ независимости и условной независимости
случайных векторов.
Некоторые модели теории риска. Обобщение модели Крамера - Лундберга.
Информационные методы выбора переменных, влияющих на изучаемый случайный отклик.

Предсказуемые, предвещаемыe и достижимые моменты.
Исчерпание графиками марковских моментов скачков согласованного процесса, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева.
Критерий предсказуемости согласованного процесса с регулярными траекториями.
Тотально недостижимые и достижимые моменты остановки.
Oпциональнaя и предсказуемaя проекции.