[Кафедра теории вероятностей]

Разложение Винера-Ито по хаосам различных порядков.
Интеграл А.В. Скорохода как расширение интеграла Ито.
Производная Маллявэна. Дифференцирование.
Формула Кларка-Окона и её обобщения.

Стохастический базис и случайные процессы с непрерывным временем. Расширение фильтрации, приводящее к обычным условиям. Неразличимые случайные процессы.
Моменты остановки и их свойства (непрерывное время). σ-алгебры событий, предшествующих моменту остановки.
Измеримая, прогрессивно измеримая, опциональная σ-алгебры: определения и основные свойства.
Теорема об измеримости дебюта прогрессивно измеримого множества (без доказательства). Частные случаи теоремы (с доказательствами).
Предсказуемая σ-алгебра и порождающие ее системы множеств и процессов.
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с непрерывным временем: определения и примеры (выпуклые преобразования, процесс обобщенной плотности).
Процессы с независимыми приращениями: два определения и их взаимосвязь.
Теорема о существовании непрерывной справа модификации супермартингала.
Основные теоремы теории мартингалов с непрерывным временем: теорема о преобразовании свободного выбора, максимальные неравенства (вероятности выхода за уровень) и максимальные -неравенства.
Локальные мартингалы с непрерывным временем. Теорема о том, что неотрицательный локальный мартингал является супермартингалом.
Примеры неотрицательных локальных мартингалов, не являющихся мартингалами (, где равномерно распределена на , замена времени в геометрическом броуновском движении, процесс обратной величины к норме трехмерного броуновского движения, выходящего не из нуля).
Интегрируемые возрастающие процессы. Натуральность и предсказуемость.
Компенсаторы и оценки их моментов.
Процессы локально интегрируемой вариации и локальные мартингалы локально интегрируемой вариации.
Разложение Дуба-Мейера субмартингала класса (D) (без доказательства). Вывод в качестве следствия разложения Дуба-Мейера произвольного субмартингала.
Квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая характеристика.
Устойчивые подпространства квадратично интегрируемых мартингалов: определение и теорема об устойчивости ортогонального дополнения.
Примеры устойчивых подпространств квадратично интегрируемых мартингалов. Чисто разрывные квадратично интегрируемые мартингалы. Теорема об их структуре (без доказательства).
Стохастический интеграл по квадратично интегрируемым мартингалам от простых функций и его свойства.
Стохастический интеграл по квадратично интегрируемым мартингалам (общий случай) и его свойства.
Стохастический интеграл по семимартингалам и его свойства.
Винеровский и пуассоновский процессы.
Формула Ито.
Формула интегрирования по частям.
Стохастическая экспонента и ее свойства. Теорема единственности.
Стохастическая экспонента и ее свойства. Теорема существования.
Геометрическое броуновское движение как стохастическая экспонента от броуновского движения со сносом.
Стохастические дифференциальные уравнения. Теорема существования и единственности.

Предельные теоремы.
Безграничная делимость. Канонический вид. Теорема Колмогорова.
Понятие о процессах Леви.
Современные приложения марковских процессов общего вида. Детальный баланс и обратимость.
О вкладе отечественной и зарубежных научных школ в развитие теории вероятностей

Марковские процессы с дискретным множеством состояний.
Эргодическая теорема. Проблема неэргодичного поведения цепей Маркова.
Вероятностные задачи, связанные с компьютерным моделированием стохастических систем.

Популярные вероятностные модели многокомпонентных систем: процессы с запретами, процессы контактов, модель Изинга , модели синхронизации и др.
Современные аспекты моделирования таких систем.
Взаимовлияние в обратную сторону: использование классических случайных многокомпонентных систем в современных алгоритмах.
О вероятностных, алгебраических и спектральных методах для анализа поведения стохастических многокомпонентных систем
Марковские многокомпонентные систем с синхронизацией, основанные на системах броуновских частиц и на системе взаимодействующих диффузий. Вероятностные модели сенсорных сетей.

Финансовые рынки и портфели ценных бумаг. Самофинансируемые портфели и их свойства.
Безарбитражные рынки и мартингальные меры. Первая фундаментальная теорема теории арбитража. Безарбитражность в слабом и сильном смыслах.
Полные рынки. Вторая фундаментальная теорема теории арбитража. Необходимое условие безарбитражности и полноты в терминах фильтрации.
Верхние (нижние) хеджи и верхние (нижние) цены платежных обязательств. Безарбитражные и полные рынки. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Расчеты справедливой цены и совершенных хеджей для модели Кокса-Росса-Рубинштейна.
Справедливые цены и совершенные хеджи с предсказуемыми и непредсказуемыми добавками.
Динамическое платежное обязательство и его верхняя цена. Теорема о наименьшем супермартингале, хеджирующем дисконтированное динамическое платежное обязательство.
Элементы теории оптимальных моментов остановки. Теорема о справедливой цене и хеджировании динамических платежных обязательств и ее следствия.
Анализ безарбитражных неполных рынков.

Гипотеза случайного блуждания и концепция эффективного рынка
Финансовые рынки, портфели ценных бумаг, самофинансируемые портфели
Модель Блэка-Шоулса: расчет опционов купли и продажи, формула Блэка-Шоулса, риск-нетральные вероятности, Американские опционы, экзотические опционы
Равновесные модели временной структуры: модели Васичека и Кокса-Ингерсолла-Росса
Безарбитражные модели временной структуры: модели Хо-Ли и Хита--Джерроу-Мортона

Стохастический базис (дискретное время). Моменты остановки и отвечающие им сигма-алгебры: определения и основные свойства.
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы (дискретное время). Определения и примеры (суммы независимых случайных величин, выпуклые преобразования, процесс обобщенной плотности).
Три вида обобщений мартингалов с дискретным временем: локальные мартингалы, обобщенные мартингалы, мартингальные преобразования. Их эквивалентность.
Неравенства для числа пересечений полосы субмартингалом и супермартингалом снизу вверх.
Теорема Дуба о сходимости супермартингалов.
Теорема Дуба о сходимости обращенных супермартингалов.
Усиленный закон больших чисел как следствие теоремы Дуба о сходимости.
Теорема П.Леви о сходимости мартингалов. Закон «0 или 1» Колмогорова.
Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора.
Максимальные (о вероятности выхода за уровень) неравенства для субмартингалов и супермартингалов.
Максимальные - и L log L-неравенства для субмартингалов.
Неравенства Буркхольдера-Дэвиса-Ганди (дискретное время).
Теорема существования и единственности разложения Дуба и его явный вид.
Квадратично интегрируемые мартингалы с дискретным временем. Квадратическая характеристика.
Теоремы о множествах сходимости мартингалов и их применения.
Неравенства Ленгляра.
Неотрицательные супермартингалы. Мультипликативное разложение.
Процессы плотности и обобщенной плотности вероятностных мер на пространствах с фильтрацией: основное тождество последовательного анализа.
Предельное поведение процесса обобщенной плотности вероятностных мер.
Критерий абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер на пространствах с фильтрацией с дискретным временем.