[Кафедра прикладной механики и управления]

Постановка задачи максиминного тестирования в экстремальных ситуациях. Виды стратегий и технология тестирования. Структурная схема тестирующего стенда.
Постановка задачи тестирования точности стабилизации для программных стратегий. Редукция к геометрическим играм.
Свойства множеств достижимости для линейной системы. Формулировки экстремальных задач в терминах множеств достижимости. Пример построения множества достижимости в задаче движения материальной точки по прямой под действием ограниченной по величине силы.
Выпуклая оболочка множества в .  Ее свойства. Свойства опорной функции выпуклого множества. Опорная гиперплоскость. Теорема  о  представлении выпуклой оболочки множества. Пример построения опорной функции для эллипсоида
Сопряженные множества. Отделимость. Проекция точки на выпуклое множество. Ее свойства. Теорема  о тупом угле
Алгоритм построения множества достижимости линейной управляемой системы.
Задача Булгакова о максимальном отклонении. Алгоритм ее решения.
Проекция точки на выпуклое множество. Численный алгоритм решения задачи проектирования.
Алгоритм построения выпуклой оболочки множества достижимости для нелинейной управляемой системы. Метод Крылова-Черноусько.
Седловые точки дифференциальной игры. Их свойства. Алгоритм поиска седловой точки для программных стратегий линейной дифференциальной игры.
Позиционные стратегии в задачах управления и дифференциальных играх. Пример вычисления функции Беллмана для  управляемой системы 2-го порядка.  
Гладкий потенциал. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса. Пример решения  ур-я Беллмана-Айзекса для линейной системы 4 порядка.
Отсутствие гладкости функции Беллмана в задаче быстродействия. Пример
Существование седловой точки дифференциальной игры с выпуклым функционалом качества  в позиционных стратегиях.
Метод экстремального прицеливания Н.Н.Красовского построения позиционных стратегий.
Модификация метода «экстремального прицеливания» для регулярной дифференциальной игры. Пример многоэкстремальности опорной функции множества достижимости управляемой системы.
Аппроксимация множества достижимости эллипсоидами. Вычисление седловой точки в геометрической игре для двух эллипсоидов.

Колебания в сосредоточенных системах, волны в распределенных системах. Волновое уравнение. Параметры бегущей волны. Граничные условия
Цепочка связанных маятников. Уравнение Клейна-Гордона. Продольные колебания стержня, поперечные колебания струны
Поперечные колебания балки. Уравнение Эйлера-Бернулли. Дисперсионное соотношение
Свободные и вынужденные колебания консоли. Моды колебаний. Резонансы
Параметрический резонанс струны
Основные уравнения гидродинамики: уравнение неразрывности, уравнение Эйлера, уравнение состояния
Акустические колебания. Скорость звука
Уравнение малых гравитационных волн, граничные условия
Дисперсия гравитационных волн, приближения мелкой и глубокой воды. Групповая скорость
Уравнения Лагранжа. Трохоидальная волна
Нелинейные волны. Уравнения Буссинеска
Уравнения потенциальных волн. Уравнение Кортвега-де Фриса, солитоны
Маятник Фруда. Уравнение Релея. Усредненные уравнения и амплитуда предельного цикла. Другие примеры конечномерных автоколебательных систем
Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. Течение Пуазейля
Уравнения малых отклонений от решения Пуазейля. Переход к турбулентности. Аналогия с автоколебаниями
Эффект Бенара. Уравнения термоконвекции
Общая схема нахождения решения в виде конвективных валов. Уравнения Лоренца

Биомехатронные системы. Примеры. Модели движения биомехатронных систем
Стабилоанализатор (силовая платформа). Модель стабилометрических показаний.
Реализация биологической обратной связи при стабилометрических тестах. Задача об оптимальном наклоне
Управление по положению центра масс. Задача оценивания координат центра масс по показаниям стабилоанализатора
Удержание человеком равновесия на неустойчивом основании с использованием голеностопной стратегии. Перевёрнутый маятник на качелях seesaw
Математическая модель перемещения человека на двухколёсной транспортной тележке типа «Segway».Маятник на колесе
Тазобедренная стратегия удержания человеком равновесия на неустойчивом основании. Модель двухзвенного перевернутого маятника. Стабилизирующее управление линеаризованной моделью, обеспечивающее максимальную область притяжения при наличии ограничений управляющего момента.
Глаз как элемент биомехатронной системы. Математическая модель движения глаза в горизонтальной плоскости при наличии одного управляющего параметра – пропорционального скорости изменения момента силы, создаваемой парой мышц.
Математическая модель саккадического движения глаза в горизонтальной плоскости с учетом наличия мышц-антагонистов
Оптимальное поведение человека, раскачивающего качели. Двухуровневый алгоритм оптимального управления
Математическая модель двуногого шагающего механизма

Уравнение движения спутника около центра масс
Гравитационные и магнитные моменты.
Стационарные движения спутника около центра масс на круговой орбите
Устойчивость стационарных движений спутника.
Постановка задачи стабилизации стационарных движений спутника при помощи магнитных моментов.
Проблемы приводимости линейных нестационарных систем (ЛНС) с управлением к стационарным системам.
Классы линейных нестационарных систем, приводимых к стационарным.
Приводимость ЛНС с управлением и наблюдением к стационарным системам большего порядка.
Алгоритмы стабилизации ЛНС с управлением, основанные на стационарных системах.
Применение предложенных алгоритмов к задачам стабилизации стационарных движений спутника с помощью магнитных моментов различной природы.

Метод инерциальной навигации, датчики первичной навигационной информации, основные определения.
Задача определения ориентации по измерению угловой скорости, параметры ориентации. Углы Эйлера, углы Крылова, кинематические уравнения для их определения.
Матрица направляющих косинусов как параметр ориентации. Уравнение Пуассона, Уравнение кинематической ошибки
Параметры Родрига – Гамильтона. Связь с другими параметрами ориентации. Кинематическое уравнение
Однокомпонентная система инерциальной навигации. Модельные уравнения, уравнения ошибок. Кинематическая и динамическая ошибки. Свойства уравнений ошибок
Двухкомпонентная система инерциальной навигации с горизонтируемым приборным трехгранником. Определение ошибок
Уравнения ошибок двухкомпонентной системы инерциальной навигации с горизонтируемым приборным трехгранником Свойства уравнений ошибок.
Трехкомпонентная система инерциальной навигации с горизонтируемым приборным трехгранником. Определение ошибок
Уравнения ошибок трехкомпонентной системы инерциальной навигации с горизонтируемым приборным трехгранником Свойства уравнений ошибок
Трехкомпонентная система инерциальной навигации с горизонтируемым приборным трехгранником с дополнительной информацией о высоте. Определение ошибок. Устойчивость уравнений ошибок.
Трехкомпонентная система инерциальной навигации с приборным трехгранником, стабилизированным в инерциальном пространстве. Определение ошибок. Свойства уравнений ошибок
Выставка инерциальных навигационных систем на неподвижном основании
Особенности бескарданных навигационных систем. Системы координат. Модельные и квазиприборныйтрехгранникм
Определение ошибок бескарданных навигационных систем. Особенности уравнений ошибок бескарданных навигационных систем.
Математические модели инструментальных погрешностей датчиков первичной навигационной информации инерциальных навигационных систем.
Калибровка инерциальных навигационных систем.
Особенности калибровки инерциальных навигационных систем и бескарданных инерциальных навигационных систем

Параметры ориентации: матрицы ориентации, вектор поворота, параметры Родрига-Гамильтона, кватернионы. Основные системы координат: инерциальная, гринвичская, географические, связанная. Модели навигационных эллипсоидов, их взаимосвязь. Географические координаты и их взаимосвязь с гринвичскими. Долготный радиус кривизны. Численный алгоритм определения географических координат по гринвичским. Связь компонент вектора относительной скорости в осях географического трехгранника с угловой относительной скоростью этого трехгранника. Широтный радиус кривизны.
Кинематическое уравнение Пуассона для матрицы ориентации, кватерниона. Связь векторов абсолютной и относительной линейной скорости в разных системах координат. Модели удельных сил тяжести и тяготения. Динамические уравнения движения материальной точки. Модели уравнений в разных системах координат. Динамические уравнения движения материальной точки. Модели уравнений в разных системах координат.
Метод инерциальной навигации. Понятие приборного трехгранника. Упрощенное доказательство неустойчивости трехкомпонентной инерциальной навигационной системы (ИНС). Модельные уравнения: инерциальная, гринвичская, географическая опорные системы координат. Коррекция вертикального канала при помощи показаний баровысотомера. Понятия о модельном, квазимодельном (БИНС), приборном, квазиприборном (БИНС) трехгранниках, идеальном (опорном) трехгранниках в платформенной и бескарданной навигации. Взаимосвязь этих трехгранников и векторы. Уравнения ошибок ИНС/БИНС. Их свойства. Разделение полных ошибок ИНС/БИНС на кинематическую и динамическую составляющие.
Динамические ошибки БИНС в относительных, абсолютных переменных. Смешанная форма уравнений ошибок. Связь динамических ошибок БИНС со взаимной ориентацией указанных выше трехгранников. Вывод соотношений, описывающих ошибки определения углов курса, крена, тангажа.
Задача начальной выставки БИНС на неподвижном основании. Этапы грубой и точной выставки
Схемы решения задачи коррекции в инерциальной навигации. Вариант оценивания и вариант введения обратных связей (вариант управления). Дискретный вариант введения обратных связей – схема с рестартом, накоплением и компенсацией оценок инструментальных погрешностей. Задача интеграции ИНС/БИНС-СНС. Слабосвязанная интеграция. Основные модели. Формирование выходной навигационной информации для варианта оценивания. Учет смещения антенны приемника сигналов СНС относительно приведенного центра ИНС/БИНС. Учет возможного запаздывания спутниковой информации.
Динамическая калибровка БИНС в сборе.
Состав спутниковых навигационных систем: наземный, космический сегмент, аппаратура пользователя. Спутниковые радионавигационные сигналы, основные характеристики. Первичные спутниковые измерения: кодовые (псевдодальность), доплеровские (псевдоскорость), фазовые. Точный и стандартный режимы доступа.
Состав спутниковых навигационных систем: наземный, космический сегмент, аппаратура пользователя. Спутниковые радионавигационные сигналы, основные характеристики. Первичные спутниковые измерения: кодовые (псевдодальность), доплеровские (псевдоскорость), фазовые. Точный и стандартный режимы доступа. Траекторная информация системы ГЛОНАСС. Алгоритмы определения координат, скорости навигационного спутника. Элементы небесной механики. Законы Кеплера. Уравнение Кеплера, определения координат, скорости навигационного спутника
Задача определение траекторных параметров навигационных спутников в режиме постобработки при помощи сервиса IGS. Модели кодовых спутниковых измерений. Основные ошибки спутниковых измерений: ошибки эфемеридного обеспечения навигационных спутников, ошибки часов спутников, ионосферные и тропосферные задержки, ошибки многолучевости, селективный доступ.
Модели доплеровских спутниковых измерений. Модели фазовых измерений. L1 и L2 сигналы. Ионосферо-свободные комбинации двухчастотных фазовых измерений
Задача определения местоположения при помощи кодовых измерений СНС. Задача определения скорости объекта при помощи доплеровских измерений. Задача определения скорости объекта при помощи фазовых измерений.
Задача определения местоположения объекта при помощи фазовых измерений в стандартном режиме. Метод наименьших квадратов и методов наименьших модулей в задаче определения местоположения объекта при помощи кодовых измерений.
Геометрические факторы. Задача определения местоположения при помощи кодовых измерений СНС в 1D, 2D режимах. Задача определения скорости при помощи доплеровских измерений СНС в 1D, 2D режимах
Задача определения местоположения при помощи дифференциальных кодовых измерений СНС. Задача определения скорости объекта при помощи дифференциальных доплеровских измерений. Задача определения скорости объекта при помощи дифференциальных фазовых измерений. Задача определения ускорения объекта при помощи дифференциальных фазовых измерений.

Принципы и этапы математического моделирования. Требования к математическим моделям. Методы построения моделей различных механических и технических объектов.
Экспоненциальные модели и модели роста. Математические модели в экологии. Модели типа хищник-жертва. Межвидовая конкуренция.
Применение аналогий при построении математических моделей. Электромеханические аналогии.
Математические модели, получаемые их фундаментальных законов природы. Совместное применение нескольких законов природы при построении математических моделей. Задача о брахистохроне.
Иерархия математических моделей. Задача о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту.
Математические модели в задаче стабилизации верхнего неустойчивого положения физического маятника. Различные способы решения этой задачи (стабилизация вращением и при помощи вертикальных колебаний точки подвеса).
Применение методов аналитической механики для построения математических моделей с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Уравнения движения вращающегося упругого стержня.
Уравнения движения неголономных механических систем. Применение к колесным экипажам. Стационарные движения и их устойчивость.
Линейные нестационарные системы (ЛНC) дифференциальных уравнений как математические модели некоторых задач механики и управления.
Линейные нестационарные системы. Приводимость к стационарным системам. Типы ЛНC, интегрируемых в замкнутой форме. Устойчивость.
Однородные ЛНC в задачах механики (гировертикаль с вращающимися сосудами, гирогоризонткомпас, колебания опоры вращающегося вала).
ЛНC с управлением и наблюдением. Критерии управляемости и наблюдаемости.
Приводимость ЛНC с управлением и наблюдением к стационарным системам, в том числе, к системам большего порядка.
Применение теории приводимости ЛНC к задачам стабилизации относительного равновесия.
Стабилизация регулярных прецессий симметричного спутника при помощи магнитных моментов различной природы.

Постановка задачи гарантирующего оценивания. Математические модели помех измерений. Классы оценивателей. Критерии качества оценивания.
Линейное программирование. Прямая и двойственная задачи. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Необходимые условия оптимальности оценивателя. Общая теорема Лагранжа. Применение теоремы Лагранжа в негладком случае.
Достаточные условия оптимальности оценивателя. Следствие общей теоремы Лагранжа.
Двойственные задачи. Двойственность по Лагранжу. Двойственность по Рокафеллару.
Чебышевская аппроксимация. Общая задача аппроксимации функции на многообразиях.
Задача гарантирующего оценивания при комбинированных моделях шумов. Смешанные квадратично-негладкие функционалы.
Гарантирующее оценивание со сбоями в измерениях. Постановка задачи оценивания с единичным сбоем. Постановка задачи оценивания с несколькими сбоями.
Метод наименьших квадратов в задаче гарантирующего оценивания. Вариационные задачи, соответствующие методу наименьших квадратов.
Калибровка блока акселерометров. Математическая модель показаний блока акселерометров. Метод скаляризации.
Принцип Лагранжа и двойственность. Общие методы выпуклого анализа.
Субдифференциальное исчисление. Понятие о субдифференциале. Общие формулы субдифференциального исчисления.
Гарантирующее оценивание в динамических системах. Обобщение постановок задач гарантирующего оценивания на динамический случай.
Фазовые ограничения в задаче гарантирующего оценивания. Некоторые примеры. Построение соответствующих вариационных задач.
Уровни неоптимальности для задач гарантирующего оценивания в динамических системах. Формула Лидова. Вспомогательная краевая задача.

Постановка задачи гарантирующего оценивания. Математические модели помех измерений. Классы оценивателей. Критерии качества оценивания.
Линейное программирование. Прямая и двойственная задачи. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Необходимые условия оптимальности оценивателя. Общая теорема Лагранжа. Применение теоремы Лагранжа в негладком случае.
Достаточные условия оптимальности оценивателя. Следствие общей теоремы Лагранжа.
Двойственные задачи. Двойственность по Лагранжу. Двойственность по Рокафеллару.
Чебышевская аппроксимация. Общая задача аппроксимации функции на многообразиях.
Задача гарантирующего оценивания при комбинированных моделях шумов. Смешанные квадратично-негладкие функционалы.
Гарантирующее оценивание со сбоями в измерениях. Постановка задачи оценивания с единичным сбоем. Постановка задачи оценивания с несколькими сбоями.
Метод наименьших квадратов в задаче гарантирующего оценивания. Вариационные задачи, соответствующие методу наименьших квадратов.
Калибровка блока акселерометров. Математическая модель показаний блока акселерометров. Метод скаляризации.
Принцип Лагранжа и двойственность. Общие методы выпуклого анализа.
Субдифференциальное исчисление. Понятие о субдифференциале. Общие формулы субдифференциального исчисления.
Гарантирующее оценивание в динамических системах. Обобщение постановок задач гарантирующего оценивания на динамический случай.
Фазовые ограничения в задаче гарантирующего оценивания. Некоторые примеры. Построение соответствующих вариационных задач.
Уровни неоптимальности для задач гарантирующего оценивания в динамических системах. Формула Лидова. Вспомогательная краевая задача.