[Кафедра общих проблем управления]

Теорема Маковоза, её приложение к вычислению поперечников W1∞,g в пространстве Lp,v.
Функциональные классы Wrp, пространства Lq. Теорема Арцела – Асколи (формулировка). Компактность вложения пространства Соболева на отрезке в пространство Lq. Рефлексивные пространства, слабая секвенциальная компактность.
Теорема Пинкуса – Буслаева – Тихомирова. Постановка задачи на максимум, система уравнений Эйлера. Функции с n точками перемены знака.
Сходимость итерационного процесса Буслаева. Оценка снизу для колмогоровского поперечника.
Ядро G(t,τ,ξ,η), его свойства. Оценка сверху для колмогоровского поперечника.
Доказательство строгого убывания последовательности колмогоровских поперечников при p>q.
Непустота множества SPn. Оценка снизу для бернштейновского поперечника.
Пространства Соболева Wpr на многомерной области. Теорема Соболева о непрерывном и компактном вложении. Оценка сверху приближения класса Соболева подпространством кусочно-полиномиальных функций.
Теорема Кашина – Глускина о поперечниках конечномерных множеств Bnp в пространствах lnq при p<q.
Теорема об оценке поперечников класса Соболева в пространстве Lq на кубе.
Формулировка теоремы о поперечниках классов Соболева на области с пиком.

Поперечники, характеризующие приближение множеств: колмогоровский, линейный, проекционный, александровский. Поперечники компактных множеств и свойство аппроксимации нормированного пространства. Поперечник эллипсоида в евклидовом пространстве. Гельфандовский поперечник.
Колмогоровский поперечник класса липшицевых функций в пространстве Lp: оценка сверху.
Некоторые элементарные свойства поперечников: монотонность, поперечники замыкания и выпуклой оболочки, полуаддитивность.
Паракомпактность метрического пространства (без доказательства). Теорема Майкла. Равенство колмогоровского поперечника и поперечника γn.
Теорема Борсука. Теорема о поперечнике шара. Бернштейновский поперечник, его связь с колмогоровским. Теорема Маковоза и оценка снизу колмогоровского поперечника класса липшицевых функций в пространстве Lp.
Теорема Брауэра о неподвижной точке, теорема об ε-сдвиге. Мультипликативность поперечников. Точные значения александровских поперечников.
Точные значения колмогоровских, линейных и проекционных поперечников конечномерных шаров Bnp в пространствах lnq при p≥q.
Поперечники октаэдров в евклидовом пространстве.
Соотношения двойственности между колмогоровским и гельфандовским поперечниками.

Теорема Джона об эллипсоиде. Теорема Дворецкого-Роджерса.
Мера Хаара, инвариантная относительно действия группы движений. Примеры: мера на евклидовой сфере, мера на группе ортогональных операторов.
Принцип концентрации меры.
Теорема Дворецкого о почти евклидовых сечениях.
Почти евклидовы сечения в lpn.
Колмогоровские и линейные поперечники. Теоремы Глускина.
Теорема Джонсона-Шехтмана о почти lpk-сечениях шара в l1n.

Суперрефлексивные пространства. Теорема Джеймса-Энфло о перенормировке суперрефлексивного пространства
Базисы Шаудера. Теорема Банаха о норме канонического проектора. Базисная константа.
Эквивалентные базисные последовательности. Теорема Крейна-Мильмана-Рутмана.
Теорема Пелчинского и принцип выбора Бессага-Пелчинского. Дополняемые подпространства в c0 и lp.
Теорема Питта. Неизоморфность бесконечномерных подпространств lp и lq при разных p и q. Неизоморфность Lp[0, 1] и lp при конечных p, не равных 2.
Метод разложения Пелчинского. Теорема Акилова. Изоморфность l∞ и L∞[0, 1].
Стягивающие базисы.
Пример Джеймса нерефлексивного банахова пространства, изометрически изоморфного своему второму сопряженному.
Свойство аппроксимации банахова пространства и эквивалентные ему условия.
Пример сепарабельного банахова пространства без свойства аппроксимации.
p-абсолютно суммирующие операторы. Теорема Пича.
Константа Гротендика и приложения для доказательства p-абсолютной суммируемости.
Типы и котипы банаховых пространств. Неравенство Кахана. Тип и котип Lp.
Теорема Квапьена.

Теорема отделимости в полинормированном пространстве. Теорема Мазура. Теорема Банаха-Алаоглу. Теорема Голдстайна.
Компактность и секвенциальная компактность. Теорема Эберлейна-Шмульяна.
Рефлексивные банаховы пространства. «Свойство трех пространств». Теорема Джеймса о рефлексивности.
Принцип Экланда. Теорема Бишопа-Фелпса.
Субдифференциал. Критерий дифференцируемости нормы в точке по Гато (лемма Шмульяна). Теорема Кадеца о существовании эквивалентной дифференцируемой по Гато нормы. Строгая выпуклость.
Теорема о существовании эквивалентной дифференцируемой по Гато нормы на сепарабельном банаховом пространстве. Множество точек дифференцируемости по Гато у выпуклой непрерывной функции.
Критерий дифференцируемости по Фреше в точке для выпуклой непрерывной функции. Критерий дифференцируемости нормы в точке по Фреше (лемма Шмульяна). Локальная равномерная выпуклость.
Критерий существования эквивалентной дифференцируемой по Фреше нормы на сепарабельном банаховом пространстве.
Бамп-функции. Пространства Асплунда. Теорема Мазура-Фелпса.
Крайние, выступающие и сильно выступающие точки. Теоремы Крейна-Мильмана и Линденштраусса-Троянского.
Острые множества. Пространства со свойством Радона-Никодима.
Свойство Бишопа-Фелпса. Теорема Бургейна об эквивалентности свойства Бишопа-Фелпса и Радона-Никодима.
Равномерно выпуклые и равномерно гладкие пространства, соотношение двойственности между ними.
Оценка модуля выпуклости пространств Lp.
Теорема Дэя-Нордлендера.
Конечная представимость. Теорема об эквивалентной норме пространства, грубо конечно представимого в равномерно выпуклом, равномерно гладком и гильбертовом.
Теорема Линденштраусса-Цафрири.
Теорема Банаха-Мазура о вложении себарабельного банахова пространства в пространство непрерывных функций на отрезке. Неравенства Хинчина. Вложение l2 в Lp[0, 1].

Постановка общей задачи оптимального восстановления линейного оператора. Необходимые и достаточные условия существования линейного метода восстановления линейного функционала.
Построение линейного оптимального метода в задаче оптимального восстановление линейного оператора по неточной информации.
Адаптивные оптимальные методы восстановления.
Задачи оптимального восстановления функций и их производных на соболевских классах функций по неточно заданному спектру.
Задачи оптимального восстановления решений уравнений математической физики по неточным исходным данным.
Задачи оптимального восстановления по информации, заданной со случайной ошибкой.

Принцип максимума Л.С.Понтрягина
Краевая задача принципа макисмума
Вычислительные схемы метода стрельбы
Модифицированный метод Ньютона
Методы численного решения задач Коши
Режимы особого управления
Задачи с промежуточными условиями и фазовыми ограничениями

Принцип Лагранжа
метод Ньютона-Исаева-Сонина-Федоренко
методы решения СЛАУ
методы численного дифференцирования
методы решения задач Коши для систем ОДУ
метод декомпозиции и примеры его применения
метод продолжения решения по параметру и примеры его применения
Прямые методы решения оптимизационных задач.
Дискретизация в фазовом пространстве и в пространстве управлений. Примеры.
Методы безусловной оптимизации: сопряжённых градиентов и эвристические методы нулевого порядка. Примеры.
метод проекции градиента
метод условного градиента
метод штрафных функций
метод линеаризации.

Теорема о магистрали
Теорема о седловой точке
Метод Беллмана
Метод эллипсоидов
Теорема Куна-Таккера
Принцип двойственности в задаче квадратичного программирования
Задача оптимального управления
Задача оптимального управления с закрепленным временем необходимые условия
Достаточные условия в задаче оптимального управления с закрепленным временем и выпуклым Лагранжианом.
Максимизация ожидаемого дохода страхователя в модели Эрроу.
Построение эффективного портфеля ценных бумаг по модели Марковица
Модель Рамсея сбалансированного роста.
Оптимальное планирование поставки продукции.
Оптимизация безрискового финансового портфеля.
Модель ЭРРОУ и НЕРЛОФА оптимизации расходов на рекламу.
Рекламная модель Видаля-Вольфа.
Выбор оптимального индексного портфеля.