[Кафедра МКМА]

Дзета-функция Римана
Ряды Дирихле
Проблема Варинга
Метод Виноградова
Аддитивные задачи теории чисел

Основная теорема арифметики
Арифметические функции
Теория сравнений
Первообразные корни
Характеры Дирихле

Упорядоченные и неупорядоченные разбиения
Модулярные функции и модулярные группы
Функция Дедекинда
Асимптотика Радемахера
Теорема Харди-Рамануджана

Простые числа. Делимость в кольце целых чисел, НОД, НОК, Алгоритм Евклида. Однозначное разложение целых чисел на простые множители. Бесконечность числа простых чисел. Мультипликативные функции, функции Эйлера и Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса. Неравенства Чебышева.
Сравнения. Сравнения и их свойства. Полная и приведенная система вычетов. Число решений линейного сравнения. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Повторение основных определений алгебры: группа, кольцо, идеал, фактор-группа и фактор-кольцо, поле. Кольцо классов вычетов (определения и свойства выше на языке колец). Делители нуля. Кольцо многочленов над любым полем. Однозначность разложения в кольце многочленов.
Первообразные корни. Теорема Лагранжа (число корней многочлена над произвольным полем не превосходит степени многочлена). Группа единиц кольца вычетов по модулю простого. Структура группы единиц кольца вычетов по произвольному модулю. Первообразные корни и индексы. Степенные вычеты.
Квадратичные вычеты. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра, символ Якоби, их свойства. Теорема Вильсона и её обобщение. Лемма Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Равномерное распределение последовательностей mod n (обзорно).
Конечные поля
Источники: [Степ, главы I-II], [IR, главы 7-8,10-11], [Serre, глава I], [LN, главы 2,5], [БШ, параграфы I.1-I.2, АД.2-АД.3]
Конечные поля. Расширения полей. Конечное поле F_q как фактор-кольцо кольца многочленов F_p [x]. Количество неприводимых многочленов над F_p . Цикличность мультипликативной группы F_q^* . Конечные расширения полей, cвойства расширения F_q / F_p .
Группа автоморфизмов. Норма и след. Подполя конечных полей. Автоморфизм Фробениуса, цикличность группы Галуа конечного поля. Соответствие Галуа для башни конечных полей. Норма и след для произвольных конечных расширений полей. Дискриминант базиса расширения. Свойства нормы и следа в случае конечных полей.
Корни из единицы. Круговой многочлен. Круговой многочлен, круговое поле. Цикличность группы корней из единицы. Примитивные корни из единицы. Произведение круговых многочленов. Разложение кругового многочлена над конечным полем. Число неприводимых многочленов над конечным полем. Факты о неприводимых многочленах. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Тригонометрические суммы
Источники: [Степ, главы I-II], [IR, главы 7-8,10-11], [Serre, глава I], [LN, главы 2,5], [БШ, параграфы I.1-I.2, АД.2-АД.3]
Характеры. Суммы Гаусса. Характеры конечных абелевых групп. Двойственная группа. Свойства ортогональности. Аддитивные и мультипликативные характеры конечного поля. Суммы Гаусса, обобщённые суммы Гаусса. Соотношение Хассе-Дэвенпорта.
Тригонометрические суммы. Уравнения над конечными полями. Связь тригонометрических сумм с числом решений уравнений в конечных полях. Суммы Якоби и их приложения для числа решений уравнений. Теоремы Варинга и Шевалле. Суммы характеров. Неполные суммы характеров. Теорема Виноградова-Пойя.
Дзета функция Артина. Элементы алгебраической геометрии над конечным полем: аффинное и проективное пространства, уравнения как гиперповерхности. Дзета функция Артина, критерий её рациональности. Дзета функция гиперповерхности заданной формой a_0 x_0^m +…+ a_n x_n^m и её рациональность.
p-адические числа
Источники: [БШ, глава I], [Serre, глава II], [Gouv, главы 1-4]
p-адические числа: элементарное определение и свойства. Элементарное определение кольца и поля p-адических чисел. Единицы кольца Z_p . p-показатель и p-адическая метрика. Свойства вложения Q в Q_p . Делимость и сравнения в Z_p . Сходимость последовательностей и рядов p-адических чисел.
Аксиоматическое определение поля p-адических чисел, метризованные поля. Метризованные поля, пополнение по метрике, теорема о существовании и единственности пополнения метризованного поля (без доказательства). Эквивалентность метрик. Метрики поля рациональных чисел, Теорема Островского. Некоторые топологические свойства связанные с неархимедовыми метриками.
Лемма Гензеля, принцип Хассе. Несколько вариантов формулировки Леммы Гензеля. Связь разрешимости сравнений по модулю степени простого с разрешимостью в поле p-адических чисел. Оценка числа решений сравнения по модулю степени простого. Теорема Минковского-Хассе и локально-глобальный принцип (обзорно).
Числовые поля
Источники: [IR, главы 9,12-13], [БШ, глава III], [Marc, главы 2-5], [Cox, параграфы I.4, II.7], [DSV, глава 2]
Кольцо целых гауссовых чисел. Евклидовы кольца, кольца главных идеалов. Однозначность разложения на множители в кольцах главных идеалов. Кольцо гауссовых чисел Z[i] и кольцо чисел Эйзенштейна Z[ω]. Число представлений целого в виде суммы двух квадратов. Суммы четырёх квадратов, связь с алгеброй кватернионов.
Арифметика колец целых алгебраических чисел. Числовые поля, кольца алгебраических целых чисел. Нётеровы кольца. Однозначность разложения в кольце алгебраических целых чисел. Элементы теории Галуа числовых полей. Применение теории Галуа к разложению на простые идеалы в башнях полей и колец.
Квадратичное поле и круговое поле. Квадратичное числовое поле Q( √(d)) и его кольцо целых. Разложимость на простые идеалы. Группа единиц кольца целых квадратичного поля. Число классов идеалов квадратичного поля (обзорно). Круговое поле Q( ζ_m ), простые идеалы соответствующего кольца целых. Приложения для кругового многочлена.

Общее представление о финансах и страховании.
Риск-менеджмент.
Страхование иное, чем страхование жизни – модели и практика.
Страхование жизни и пенсии – модели и практика.
Перестрахование.
Бизнес-игра по управлению страховой компанией.

Понятие бизнес-анализа
Задачи, решаемые бизнес-аналитиком
Важность бизнес-анализа для it-проектов
Отличия бизнес-анализа от системного анализа
Бизнес-архитектура организации
Свод знаний по бизнес-анализу (BABoK) и другие источники развития компетенций аналитика
Концептуальная модель бизнес-анализа
Концепция автоматизированной системы (АС): субъекты, объекты и процессы
Виды обеспечения АС
Этапы создания АС
Работа с источниками требований к АС
Сбор и анализ требований
Работа с нечеткими требованиями
Дизайн-мышление: анализ пути пользователя
Понятие организационного моделирования
Должности, роли и структурные подразделения в организации
Методы организационного моделирования: организационно-штатная структура, организационно-распорядительная документация, матрица ролей и ответственности
Понятие процесса
Принципы моделирования процессов
Нотации, используемые в моделировании процессов
Единый язык моделирования UML
Моделирование процессов: правила и критерии качества
Формальный и содержательный анализ моделей процессов
Понятие функциональных требований
Принципы функционального моделирования АС
Пользовательские истории и сценарии использования
Диаграммы вариантов использования, диаграммы последовательностей и диаграммы деятельности
Понятие информационного потока
Принципы информационного моделирования
ER-диаграммы, диаграммы классов, диаграммы состояний
Понятие нефункциональных требований
Принципы структурного анализа АС
Монолитная и микросервисная архитектура
Диаграммы компонентов и диаграммы развертывания
Понятие пользовательского опыта: UX/UI
Принципы организации пользовательских интерфейсов
Моделирование и прототипирование пользовательских интерфейсов
Постановка задачи на разработку
Трассировка требований
Управление изменениями
Понятие гибкой разработки, манифест Agile
Классы задач по матрице Cynefin
Гибкие способы поставки программного обеспечения
Внедрение продукта проекта
Этапы работ при вводе АС в эксплуатацию
Принципы организации поддержки пользователей