[Кафедра математического анализа]

Пространства сходимости разных типов, непрерывность отображений, специфика бесконечномерности (над вещественными и гензелевыми числами).
Гладкость различных типов для графиков отображений.
Линейные однородные функционалы на функциональных пространствах
с гладкостью (графиков): обобщенные меры и обобщенные функции.
Случаи цилиндрических и счетноаддитивных мер, меры Хаара (объёмы) и унитарный гармонический анализ на пространствах без локальной компактности.
Континуальные интегралы Березина и Фейнмана.
Представления Смолянова бозонных пространств Фока: когерентные векторы, представление алгебры Гейзенберга, нормальное вторичное квантование.

Примеры функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях.
Интегрирование вектор-функций со значениями в банаховом и в гильбертовом пространстве. Интеграл Бохнера. Пространства интегрируемых функций.
Преобразование Лапласа и его свойства. Пространства Харди. Теорема Пэли- Винера.
Пространства Соболева вектор-функций и их свойства.
Аналитические вектор-функции и оператор-функции и их свойства.
Полугруппы операторов. Сильно непрерывные полугруппы и их свойства. Примеры.
Аналитические и сжимающие полугруппы и их свойства. Примеры.
Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Результаты об их корректной разрешимости в пространствах Соболева вектор-функций и оценки решений.
Интегро-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и их символы.
Оценки символов интегро-дифференциальных уравнений в правой комплексной полуплоскости. Результаты о корректной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева вектор-функций и оценки их решений.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм убывающих экспонент с положительными коэффициентами.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых интегралами Стилтьеса от экспоненты по положительной мере.
Функции Работнова и их свойства. Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости, с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм функций Работнова с положительными коэффициентами.
Применение теории полугрупп операторов к исследованию интегро-дифференциальных уравнений.
Базисы в гильбертовом пространстве. Базисы Рисса и их свойства.
Базисы Рисса из подпространств и их свойства.
Теоремы о полноте и базисности Рисса системы корневых подпространств генераторов полугрупп, порождаемых интегро-дифференциальными уравнениями.
Представления решений интегро-дифференциальных уравнений с двумя неограниченными некоммутирующими операторами, возникающих в теории вязкоупругости.

Примеры функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях.
Интегрирование вектор-функций со значениями в банаховом и в гильбертовом пространстве. Интеграл Бохнера. Пространства интегрируемых функций.
Преобразование Лапласа и его свойства. Пространства Харди. Теорема Пэли- Винера.
Пространства Соболева вектор-функций и их свойства.
Аналитические вектор-функции и оператор-функции и их свойства.
Полугруппы операторов. Сильно непрерывные полугруппы и их свойства. Примеры.
Аналитические и сжимающие полугруппы и их свойства. Примеры.
Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Результаты об их корректной разрешимости в пространствах Соболева вектор-функций и оценки решений.
Интегро-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и их символы.
Оценки символов интегро-дифференциальных уравнений в правой комплексной полуплоскости. Результаты о корректной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева вектор-функций и оценки их решений.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм убывающих экспонент с положительными коэффициентами.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых интегралами Стилтьеса от экспоненты по положительной мере.
Функции Работнова и их свойства. Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости, с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм функций Работнова с положительными коэффициентами.
Применение теории полугрупп операторов к исследованию интегро-дифференциальных уравнений.
Базисы в гильбертовом пространстве. Базисы Рисса и их свойства.
Базисы Рисса из подпространств и их свойства.
Теоремы о полноте и базисности Рисса системы корневых подпространств генераторов полугрупп, порождаемых интегро-дифференциальными уравнениями.
Представления решений интегро-дифференциальных уравнений с двумя неограниченными некоммутирующими операторами, возникающих в теории вязкоупругости.

Повторение основных приемов интегрирования. Вычисление сумм и пределов при помощи интегралов.
Сходимость несобственных интегралов.
Эйлеровы интегралы. Интегралы Дирихле, Фруллани, Пуассона. Вычисление интегралов при помощи дифференцирования или интегрирования по параметру.
Использование преобразования Лапласа и преобразования Фурье при вычислении интегралов.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Приложения.
Решение дифференциальных и интегральных уравнений.
Вычисление интегралов при помощи вычетов.

Система функций Радемахера и классическое неравенство Хинчина.
Обобщенные функции Радемахера и системы Виленкина-Крестенсона. Матрицы Виленкина-Крестенсона.
Системы независимых функций среди подсистем систем Уолша и Виленкина-Крестенсона.
Асимптотическая равномерность распределения кортежей в разложениях
чисел единичного отрезка в бесконечную p-ичную дробь (обобщение теоремы Бореля).
Лакунарность системы обобщенных функций Радемахера.
Системы направляющих косинусов. Нахождение наилучших лакунарных систем из n функций для пространств Лебега и Орлича.

Введение в анализ на нелинейных бесконечномерных многообразиях и на бесконечномерных подмногообразиях бесконечной же коразмерности.
Введение в функциональный суперанализ.
Введение в анализ комплексных функций на бесконечномерных банаховых пространствах над полем р-адических (гензелевых) чисел.
Применения этих исчислений в математической физике.

Выпуклость солнц
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство В.И. Бердышева -- В.Кли -- Л.П.Власова с помощью теоремы о неподвижной точке.
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство Э. Асплунда при помощи метода инверсии единичной сферы
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство С. В. Конягина при помощи леммы об очистке.
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство Л. П. Власова через delta-солнечность
Связность чебышёвских солнц
Чебышёвские подпространства. Теорема Гаркави.
Теорема Асплунда о существовании чебышёвской каверны Кли.
Теорема Крейна-Мильмана
Формулировка теоремы Тихонова о произведении.
Универсальность пространства С[0,1].
Константа Юнга.
Теоремы Радона, Хелли, Каратеодори.
Теорема Джеймса о рефлексивности.
Неравенство Джексона-Стечкина.
Теоремы Урысона и Титце-Урысона. Разбиение единицы.
Пространства Ефимова-Стечкина, CLUR, Дэя-Ошмана, Андерсона-Меггинсона.

1. Простейшее случайное блуждание, двусторонняя оценка среднего расстояния от начальной точки: ''элементарное доказательство'' (без использования формулы Стирлинга и неравенства Хинчина).

2. Системы функций Радемахера и Уолша, их свойства.

3. Классическое L_q-L_2-неравенство Хинчина. L_q-L_p-неравенство Хинчина.

4. Системы обобщенных функций Радемахера. Системы Виленкина-Крестенсона.

5. Подсистемы систем Уолша и Виленкина-Крестенсона, состоящие из независимых функций.

6. q-лакунарность для систем из d-членных произведений независимых случайных величин. Теорема Квапеня-Войчинского (без доказательства). Следствия для d-хаосов Радемахера.

7. L_q-L_2-неравенство Хинчина для системы обобщенных функций Радемахера
и для двух p-ичных аналогов хаоса Радемахера.

8. Наилучшие лакунарные системы из n функций в пространствах Лебега и Орлича