[Кафедра математического анализа]

Двойственность в локально выпуклых пространствах.
Слабые и сильные топологии. Топология Макки.
Алгебра цилиндрических множеств.
Цилиндрические меры и цилиндрические функции. Интегрирование.
Простейшие свойства цилиндрических мер.
Преобразование Фурье цилиндрических мер.
Теорема Минлоса-Сазонова.
Достаточные топологии для счетной аддитивности цилиндрических мер.
Цилиндрические гауссовские меры.
Теорема Ферника.
Мера Винера.
Теорема Вика.
Диаграммная техника Фейнмана для вычисления гауссовских интегралов.
Сведение нахождения гауссовских интегралов к вычислению по связным диаграммам.
Дифференцирование мер по направлениям. Свойства гладких мер.
Обобщенные меры.
Различные определения функциональных интегралов.
Нахождение функциональных интегралов посредством преобразования Фурье.
Классы интегрируемых функционалов по обобщенной мере Фейнмана.
Формула Троттера и теорема Чернова.
Представление решения уравнения Шредингера в виде интеграла по траекториям в конфигурационном пространстве.
Решение уравнения Шредингера с помощью интегралов по траекториям в фазовом пространстве.
Нелинейные преобразования в функциональных интегралах.
Возникновение разрывных траекторий при нелинейных преобразованиях.
Перепараметризация в интегралах по траекториям.
Асимптотические свойства интегралов по траекториям.
Квазиасимтотические разложения интегралов по траекториям.
Вычисление функциональных интегралов методом теории возмущений.
Применение фейнмановских диаграмм в теории возмущений.
Нахождение функциональных интегралов методом Бореля.
Приближенные вычисления функциональных интегралов.

Определение и основные свойства линейного дифференциального оператора.
Теорема существования и единственности для системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Матрицы класса Шина-Зеттла. Квазипроизводные и квазидифференциальные выражения. Формула Лагранжа.
Симметрические скалярные дифференциальные выражения с гладкими и с полиномиальными коэффициентами.
Многочлены Чебышева-Эрмита как базис матричного представления дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами.
Матрицы класса Шина-Зеттла для симметрических скалярных дифференциальных выражений с гладкими коэффициентами.
Максимальный и минимальный операторы в регулярном случае. Самосопряжённые расширения минимального оператора.
Резольвенты самосопряжённых расширений минимального оператора в регулярном случае. Функция Грина.
Собственные значения и собственные функции дифференциального оператора в регулярном случае. Спектральное разложение функции Грина в ряд по собственным функциям.
Приложение функции Грина регулярных краевых задач к вычислению сумм некоторых сходящихся рядов.
Функция Грина как производящая функция для значений некоторых специальных функций.
Асимптотика собственных значений и собственных функций дифференциального оператора при больших значениях номера.
Максимальный и минимальный операторы в сингулярном случае. Дефектные числа минимального оператора. Индекс дефекта. Основные задачи теории индекса дефекта симметрического дифференциального оператора.
Примеры Глазмана сингулярного дифференциального оператора порядка 2n с индексом дефекта (m,m) ( ).
Квазирегулярные дифференциальные операторы. Критерий квазирегулярности дифференциальных операторов в терминах функции Коши.
Примеры квазирегулярных дифференциальных операторов, признаки не квазирегулярности.
Некоторые нерешённые задачи теории индекса дефекта симметрического дифференциального оператора.

Основные определения теории оператора Штурма-Лиувилля.
Теорема существования и единственности задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Краевые условия для регулярной задачи Штурма-Лиувилля. Функция Грина самосопряжённых краевых задач.
Приложение функции Грина к некоторым вопросам анализа.
Собственные значения и собственные функции регулярного оператора Штурма-Лиувилля.
Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля.
Теория Штурма о нулях решений дифференциальных уравнений второго порядка.
Доказательство теоремы разложения методом сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля.
Асимптотическое поведение на бесконечности решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Асимптотические формулы Лиувилля-Грина (метод ВКБ).
Операторы Штурма-Лиувилля как неограниченные симметрические операторы в гильбертовом пространстве.
Индексы дефекта симметрических операторов в гильбертовом пространстве.
Круг и точка Вейля для оператора Штурма-Лиувилля.
Самосопряжённые расширения симметрических операторов, порождённых дифференциальными выражениями второго порядка.
Необходимое и достаточное условие случая предельной точки. Достаточное условие.
Интегральное представление резольвенты оператора Штурма-Лиувилля.
m(λ)-функции Вейля-Титчмарша и спектральная функция.

Банаховы алгебры. Общие свойства.
Коммутативные банаховы алгебры. Пространство максимальных идеалов.
Коммутативные -алгебры. Стоун-Чеховская компактификация.
Топологические группы. Основные определения.
Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме.
Компактные топологические группы. Связные компактные группы.

Система Радемахера: основное. Система Радемахера как система независимых функций.

Неравенства Хинчина для системы Радемахера.

Сходимость и расходимость рядов по системе Радемахера почти всюду, по мере и в интегральных метриках.

Применения системы Радемахера в задачах анализа и теории вероятностей. Теорема Бореля об асимптотической равномерности распределения нулей и единиц у разложении почти всех чисел в двоичную дробь. Понятие о случайных рядах. Числовые ряды со случайной расстановкой знаков, их сходимость. Свойства простейшего случайного блуждания.

Система функций Уолша. Ортонормированность и полнота системы Уолша. Ряды Фурье по системе Уолша. Простейшие теоремы о сходимости таких рядов.

Примеры функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях.
Интегрирование вектор-функций со значениями в банаховом и в гильбертовом пространстве. Интеграл Бохнера. Пространства интегрируемых функций.
Преобразование Лапласа и его свойства. Пространства Харди. Теорема Пэли- Винера.
Пространства Соболева вектор-функций и их свойства.
Аналитические вектор-функции и оператор-функции и их свойства.
Полугруппы операторов. Сильно непрерывные полугруппы и их свойства. Примеры.
Аналитические и сжимающие полугруппы и их свойства. Примеры.
Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Результаты об их корректной разрешимости в пространствах Соболева вектор-функций и оценки решений.
Интегро-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и их символы.
Оценки символов интегро-дифференциальных уравнений в правой комплексной полуплоскости. Результаты о корректной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева вектор-функций и оценки их решений.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм убывающих экспонент с положительными коэффициентами.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых интегралами Стилтьеса от экспоненты по положительной мере.
Функции Работнова и их свойства. Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости, с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм функций Работнова с положительными коэффициентами.
Применение теории полугрупп операторов к исследованию интегро-дифференциальных уравнений.
Базисы в гильбертовом пространстве. Базисы Рисса и их свойства.
Базисы Рисса из подпространств и их свойства.
Теоремы о полноте и базисности Рисса системы корневых подпространств генераторов полугрупп, порождаемых интегро-дифференциальными уравнениями.
Представления решений интегро-дифференциальных уравнений с двумя неограниченными некоммутирующими операторами, возникающих в теории вязкоупругости.

Задача о длине лемнискаты многочлена
Задача о выпуклости лемнискаты многочлена
Приближение кривых лемнискатами многочленов

Оператор Штурма-Лиувилля с дельта взаимодействием.
Построение решений оператора Штурма-Лиувилля.
Распределение спектра оператора Штурма-Лиувилля, возмущённого дельта-функцией Дирака.
Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля, возмущённого дельта-функцией Дирака.
Оценки снизу для первого собственного значения операторов Эйри и Вебера с точечным взаимодействием.
Спектральная функция оператора Шрёдингера с точечным взаимодействием.
Формулы квантования собственных значений оператора Шрёдингера в случае степенного роста потенциала.
Асимптотика собственных значений в случае степенного роста потенциала.