[Кафедра дифференциальных уравнений]

По всем вопросам просьба обращаться к лектору: ast.diffiety@gmail.com

Исследуются асимптотические свойства решений нелинейных дифференциальных уравнений вблизи границ области определения. Обсуждаются некоторые методы получения асимптотических формул, в частности метод сведения уравнения к динамической системе и исследование ее фазового портрета. Исследуется вопрос о существовании периодических решений.

Первая лекция -- 11 марта.

По всем вопросам просьба обращаться к лектору sham@rambler.ru

По всем вопросам просьба обращаться к проф. А.В. Филиновскому по адресу flnv@yandex.ru

Для оператора Шрёдингера на прямой устанавливается критерий Молчанова дискретности спектра, исследуется связь убывания потенциала на бесконечности и расположения существенного спектра оператора. Доказывается теорема Като об отсутствии собственных значений. Изучается асимптотическое поведение решений уравнения Шрёдингера с суммируемым потенциалом, устанавливаются оценки числа отрицательных собственных значений.

По всем вопросам просьба писать лектору проф. А.В. Филиновскому на почту flnv@yandex.ru

Изучаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных операторов на ограниченном интервале. Исследуется асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций, рассматриваются вопросы полноты систем собственных функций. Для операторов на неограниченном интервале рассматриваются вопросы существенной самосопряженности, достаточные условия дискретности спектра, поведение собственных функций.

Первая лекция -- 2 октября.

По всем вопросам просьба писать лектору на почту shaposh.tan@mail.ru
 

В спецкурсе будет рассказано о методах усреднения нелинейных краевых задач математической физики, будет дано объяснение возникновения т.н. критических значений параметров, при которых в усредненной задаче меняется характер нелинейности, возникают нелинейные нелокальные члены.

Курс основан на совершенно новой (XXI век) теории ляпуновских характеристик колеблемости, блуждаемости и вращаемости решений дифференциальных систем. Обсуждаются определения этих характеристик, их связь с определёнными свойствами решений, соотношения между ними. Разбираются важнейшие частные случаи — характеристики решений автономных систем (когда прослеживается их связь с мнимыми частями собственных значений оператора, за-дающего систему), уравнений произвольного порядка (когда они связаны с частотой нулей решения), уравнений малого порядка (когда все характеристики оказываются одинаковыми).

Определяются естественные понятия перроновской и верхнепредельной устойчивости нулевого решения дифференциальной системы, а также их многочисленные разновидности: от глобальной до частной устойчивости или неустойчивости и аналоги тех же свойств, распространяющиеся не на все, а на почти все возмущённые решения. Исследуются их логические связи с соответствующими ляпуновскими понятиями и друг с другом, со знаками показателей Перрона, Ляпунова и со специальными индикаторами. Изучаются их специфические особенности для одномерных, автономных и линейных систем. В частности, доказывается независимость большинства этих свойств от фазовой области системы. Обнаруживается полное совпадение возможностей исследования по первому приближению устойчивости и асимптотической устойчивости всех трёх типов. Аналогичное совпадение установлено для частичной и частной устойчивости по первому приближению, а в одномерном случае — сразу для всех перечисленных видов устойчивости, равно как и для всех видов неустойчивости.

С лектором можно связаться по адресу:
olga.rozanova@math.msu.ru

Курс направлен на то, чтобы познакомить слушателей с одним из интенсивно развивающихся сегодня разделов теории уравнений с частными производными - нелинейными законами сохранения. Уравнения, описывающие законы сохранения и связанные с ними, являются основным инструментом моделирования различных процессов физики, биологии, экономики, и т.д., где важным является описание явлений нелинейного переноса. Основы теории законов сохранения были заложены в середине 20 века и были мотивированы изучением процессов распространения ударных волн в воздухе. В 50-70 годы в работах И.М.Гельфанда, П.Д.Лакса, А.Майды, О.А.Олейник, С.Н.Кружкова (очень неполный перечень) были получены классические в этой области результаты, в дальнейшем продолженные в различных направлениях. Вместе с тем, существует большое количество нерешенных задач, которые могут быть сформулированы даже на элементарном уровне.
В спецкурсе рассматриваются в первую очередь, квазилинейные уравнения и системы законов сохранения первого порядка и связанные с ними уравнения и системы. Обсуждается, в частности, возможность построения точных решений, вопросы о возникновении особенностей гладких решений, типы этих особенностей, методы доказательства отсутствия гладких решений, проблемы построения обобщенных решений и возможности их регуляризации. Кроме того, рассматриваются уравнения более высоких порядков, связанные с законами сохранения добавлением специальных членов, и обсуждаются свойства, которые при этом возникают: возможность существования бегущих волн, солитонные решения, явление локализации.

Спецкурс является дополнительным к основному курсу уравнений в частных производных, где обсуждается в основном классическая теория линейных уравнений математической физики. Он призван познакомить с наиболее яркими явлениями теории нелинейных уравнений и современными методами их исследования.