Устойчивость показателей Ляпунова
Название спецкурса на английском языке
Stability of Lyapunov exponents
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра.
Асимптотика L-диагональных систем.
Коэффициент неправильности Гробмана. Теорема Гробмана о совпадении характеристических показателей.
Устойчивость показателей. Пример О.Перрона неустойчивости старшего показателя Ляпунова под действием экспоненциально убывающих возмущений.
Устойчивость показателей системы с постоянной матрицей.
Пример В.М.Миллионщикова неустойчивости показателей правильной системы.
Центральные показатели. Существование предела в их определении.
Оценка подвижности крайних показателей с помощью центральных показателей.
Полунепрерывность центральных показателей.
Достижимость центральных показателей.
Равномерная устойчивость и равномерная асимптотическая устойчивость. Случай линейной системы.
Сохранение равномерной асимптотической устойчивости при малых возмущениях коэффициентов линейной системы.
Интегральная разделённость и её свойства. Приводимость к диагональной системе.
H-преобразование. Линейная система с интегрально разделённой диагональю.
Достаточное условие устойчивости показателей Ляпунова двумерной линейной системы.
Асимптотика L-диагональных систем.
Коэффициент неправильности Гробмана. Теорема Гробмана о совпадении характеристических показателей.
Устойчивость показателей. Пример О.Перрона неустойчивости старшего показателя Ляпунова под действием экспоненциально убывающих возмущений.
Устойчивость показателей системы с постоянной матрицей.
Пример В.М.Миллионщикова неустойчивости показателей правильной системы.
Центральные показатели. Существование предела в их определении.
Оценка подвижности крайних показателей с помощью центральных показателей.
Полунепрерывность центральных показателей.
Достижимость центральных показателей.
Равномерная устойчивость и равномерная асимптотическая устойчивость. Случай линейной системы.
Сохранение равномерной асимптотической устойчивости при малых возмущениях коэффициентов линейной системы.
Интегральная разделённость и её свойства. Приводимость к диагональной системе.
H-преобразование. Линейная система с интегрально разделённой диагональю.
Достаточное условие устойчивости показателей Ляпунова двумерной линейной системы.
Список источников
Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.
Миллионщиков В.М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правильных систем // Мат. заметки. 1967. Т.2, №3. С. 315 - 317.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.
Миллионщиков В.М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правильных систем // Мат. заметки. 1967. Т.2, №3. С. 315 - 317.
Дополнительная информация
Первая лекция -- 13 февраля 2026 г.
По всем вопросам просьба писать лектору на почту vvbykov@gmail.com
Излагаются основы современной теории показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем и её приложений к вопросам устойчивости. Основное внимание в курсе уделяется исследованию характера зависимости величин, описывающих асимптотическое поведение решений линейных систем, от параметра. Рассматриваются примеры линейных систем и их семейств, демонстрирующих то или иное «патологическое» поведение.
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1404
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1213
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Введение в теорию показателей Ляпунова
Название спецкурса на английском языке
Introduction to the theory of Lyapunov exponents
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теоремы об устойчивости решений линейной системы.
Леммы Гронуолла-Беллмана и Бихари. Устойчивость линейной системы с почти постоянной матрицей.
Характеристический показатель функции, его свойства. Спектр линейной однородной системы.
Нормальные базисы. Регуляризация по Миллионщикову.
Неравенство Ляпунова. Правильные системы. Критерий правильности треугольной системы.
Преобразования Ляпунова и обобщенные преобразования Ляпунова, их свойства. Теорема Перрона о триангуляции.
Приведение линейной системы к блочно-треугольному виду
Критерий Басова-Гробмана-Богданова правильности системы.
Теория Флоке-Ляпунова о системах с периодическими коэффициентами.
Асимптотическая устойчивость в целом. Теорема Барбашина-Красовского.
Теоремы об устойчивости и неустойчивости квазилинейной системы.
Теорема об устойчивости по правильному первому приближению.
Теорема об устойчивости по неправильному первому приближению.
Леммы Гронуолла-Беллмана и Бихари. Устойчивость линейной системы с почти постоянной матрицей.
Характеристический показатель функции, его свойства. Спектр линейной однородной системы.
Нормальные базисы. Регуляризация по Миллионщикову.
Неравенство Ляпунова. Правильные системы. Критерий правильности треугольной системы.
Преобразования Ляпунова и обобщенные преобразования Ляпунова, их свойства. Теорема Перрона о триангуляции.
Приведение линейной системы к блочно-треугольному виду
Критерий Басова-Гробмана-Богданова правильности системы.
Теория Флоке-Ляпунова о системах с периодическими коэффициентами.
Асимптотическая устойчивость в целом. Теорема Барбашина-Красовского.
Теоремы об устойчивости и неустойчивости квазилинейной системы.
Теорема об устойчивости по правильному первому приближению.
Теорема об устойчивости по неправильному первому приближению.
Список источников
Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.
Дополнительная информация
Первая лекция - 19 сентября 2025 г.
По всем вопросам просьба обращаться к лектору по адресу vvbykov@gmail.com
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1604
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Глобальные решения полулинейного уравнения теплопроводности
Название спецкурса на английском языке
Global solutions of a semilinear heat equation
Пререквизиты
От слушателей подразумевается знакомство с основными результатами теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Суб(супер)-решения уравнения теплопроводности. Принцип максимума.
Оценки в центре верхней крышки. Несуществование нетривиальных решений в некоторых областях.
Первый член асимптотики решения полулинейного уравнения в цилиндрической области, удовлетворяющего на боковой поверхности условию Неймана.
Задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Неотрицательность первой собственной функции, удовлетворяющей условию Дирихле.
Об экспоненциальном убывании решений полулинейного уравнения в цилиндрической области, удовлетворяющего на боковой поверхности условию Дирихле.
О явлении blow up. О взрывающихся решениях полулинейного уравнения в цилиндрической области, удовлетворяющего на боковой поверхности условию Неймана.
Уравнение Ньютона. О несуществовании положительного решения $y''+y^\sigma=0$, $\sigma>1$.
Критический показатель. Теорема Гидаса Спрука о несуществовании положительного решения полулинейного эллиптичекого уравнения в $R^n$, $R_+^n$. Пример, в случае некритического показателя.
Теорема Giga об ограниченности глобального решения в цилиндрической области, удовлетворяющей условию Дирихле.
Теорема Levinе об условии несуществования глобального решения (о достаточном условии взрыва решения).
Понятие о мертвой зоне. Теорема о существовании мертой зоны для решений полулинейного уравнения теплопроводности в цилиндрических областях с $0<\sigma<1$.
Оценки в центре верхней крышки. Несуществование нетривиальных решений в некоторых областях.
Первый член асимптотики решения полулинейного уравнения в цилиндрической области, удовлетворяющего на боковой поверхности условию Неймана.
Задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Неотрицательность первой собственной функции, удовлетворяющей условию Дирихле.
Об экспоненциальном убывании решений полулинейного уравнения в цилиндрической области, удовлетворяющего на боковой поверхности условию Дирихле.
О явлении blow up. О взрывающихся решениях полулинейного уравнения в цилиндрической области, удовлетворяющего на боковой поверхности условию Неймана.
Уравнение Ньютона. О несуществовании положительного решения $y''+y^\sigma=0$, $\sigma>1$.
Критический показатель. Теорема Гидаса Спрука о несуществовании положительного решения полулинейного эллиптичекого уравнения в $R^n$, $R_+^n$. Пример, в случае некритического показателя.
Теорема Giga об ограниченности глобального решения в цилиндрической области, удовлетворяющей условию Дирихле.
Теорема Levinе об условии несуществования глобального решения (о достаточном условии взрыва решения).
Понятие о мертвой зоне. Теорема о существовании мертой зоны для решений полулинейного уравнения теплопроводности в цилиндрических областях с $0<\sigma<1$.
Список источников
1. Л.К.Эванс, Уравнения счастными производными // Новосибирск, Тамара Рожсковская, 2003.
2. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа” // Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 17, 2001, 9–19.
3. А. И. Вольперт, С. И. Худяев, Анализ в классах разрывных функций, Наука, М., 1975
4. В. В. Чистяков О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка, Труды семинара имени И.Г.Петровского, вып. 15 (1991), стр. 70-107.
5. Kondratiev, V.A. , Veron, L. Asymptotic Behaviour of Solutions of Some Nonlinear Parabolic or Elliptic Equations, Asymptotic Analysis, 1997, 14, N2, pp. 117--156.
6. Giga Y., “A bound for global solutions of semilinear heat equations”, Commun. Math. Phys., 103 (1986), 414–421
2. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа” // Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 17, 2001, 9–19.
3. А. И. Вольперт, С. И. Худяев, Анализ в классах разрывных функций, Наука, М., 1975
4. В. В. Чистяков О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка, Труды семинара имени И.Г.Петровского, вып. 15 (1991), стр. 70-107.
5. Kondratiev, V.A. , Veron, L. Asymptotic Behaviour of Solutions of Some Nonlinear Parabolic or Elliptic Equations, Asymptotic Analysis, 1997, 14, N2, pp. 117--156.
6. Giga Y., “A bound for global solutions of semilinear heat equations”, Commun. Math. Phys., 103 (1986), 414–421
Дополнительная информация
По всем вопросам просьба писать лектору на адрес filimi@yandex.ru
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
409
Аудитория первого занятия
409
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Линейное и полулинейное уравнение теплопроводности
Название спецкурса на английском языке
Linear and semilinear heat equation
Пререквизиты
дифференциальные уравнения
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Принцип максимума в ограниченной области и в полосе.
Задача Коши в классе ограниченных функций. Формула Пуассона. Тихоновский класс функций.
Пример неединственности решения задачи Коши.
Теоремы о среднем для решений уравнения теплопроводности по тепловому шару.
Теоремы о среднем для решений уравнения теплопроводности по тепловой сфере.
Сильный принцип максимума: теорема и пример Ниренберга.
Неравенство Харнака.
Теоремы о стабилизации решений задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Примеры нестабилизирующихся решений задач Коши.
Одногорбные решения одномерного уравнения теплопроводности.
Сингулярные решения полулинейного уравнения теплопроводности. Существование решения в случае докритического показателя, сведение к задаче для полулинейного ОДУ на полуоси.
Метод фазовой плоскости. Доказательства необходимых результатов из теории полулинейных ОДУ.
Единственность сингулярного решения ОДУ.
Случай посткритического показателя. Несуществование сингулярных решений.
Полулинейное уравнение теплопроводности (теорема Колмогорова--Петровского--Пискунова).
Принцип максимума в ограниченной области и в полосе.
Задача Коши в классе ограниченных функций. Формула Пуассона. Тихоновский класс функций.
Пример неединственности решения задачи Коши.
Теоремы о среднем для решений уравнения теплопроводности по тепловому шару.
Теоремы о среднем для решений уравнения теплопроводности по тепловой сфере.
Сильный принцип максимума: теорема и пример Ниренберга.
Неравенство Харнака.
Теоремы о стабилизации решений задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Примеры нестабилизирующихся решений задач Коши.
Одногорбные решения одномерного уравнения теплопроводности.
Сингулярные решения полулинейного уравнения теплопроводности. Существование решения в случае докритического показателя, сведение к задаче для полулинейного ОДУ на полуоси.
Метод фазовой плоскости. Доказательства необходимых результатов из теории полулинейных ОДУ.
Единственность сингулярного решения ОДУ.
Случай посткритического показателя. Несуществование сингулярных решений.
Полулинейное уравнение теплопроводности (теорема Колмогорова--Петровского--Пискунова).
Список источников
Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003.
Brezis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial conditions // J. Math. Pures et Appl., 62 (1983), 73-97.
Brezis H., Peletier L.A., Terman D. A very singular solution of the heat equation with absorption // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 95:3 (1986), 185-209.
Fulks W. A mean value theorem for the heat equation // Рroc. Amer. Math. Soc., 17 (1966), 6-11.
Годунова Е.К., Левин В.И. Некоторые качественные вопросы теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 6:6 (1966), 1097-1103.
Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 17 (2001), 9-19.
Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Матем. сб., 73(115):1 (1967), 155-159.
Валле-Пуссен Ш. Четыре лекции о квази-аналитических функциях действительного переменного // УМН, 5 (1938), 150-170.
Moser J. On Harnack’s theorem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math., 14 (1961), 577-591.
Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Сб. науч. тр. в 10 т., Т.2, С.417–442. М: Наука, 2009.
Brezis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial conditions // J. Math. Pures et Appl., 62 (1983), 73-97.
Brezis H., Peletier L.A., Terman D. A very singular solution of the heat equation with absorption // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 95:3 (1986), 185-209.
Fulks W. A mean value theorem for the heat equation // Рroc. Amer. Math. Soc., 17 (1966), 6-11.
Годунова Е.К., Левин В.И. Некоторые качественные вопросы теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 6:6 (1966), 1097-1103.
Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 17 (2001), 9-19.
Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Матем. сб., 73(115):1 (1967), 155-159.
Валле-Пуссен Ш. Четыре лекции о квази-аналитических функциях действительного переменного // УМН, 5 (1938), 150-170.
Moser J. On Harnack’s theorem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math., 14 (1961), 577-591.
Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Сб. науч. тр. в 10 т., Т.2, С.417–442. М: Наука, 2009.
Дополнительная информация
По всем вопросам просьба писать лектору на адрес filimi@yandex.ru
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
407
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Студенческие математические олимпиады: подготовка и участие
Название спецкурса на английском языке
Student mathematical olympiads: preparation and participation
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Элементарная математика (функции и функциональные уравнения).
Теория чисел.
Матрицы, определители, системы линейных и нелинейных уравнений.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
Матанализ: предел и непрерывность, числовые и функциональные ряды и последовательности.
Комплексные числа и действия над ними.
Задачи теории функций комплексного переменного и задачи, решающиеся методами теории функций комплексного переменного.
Элементы высшей алгебры.
Комбинаторика.
Теория игр.
Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения.
Рекуррентные соотношения.
Пространственная геометрия.
Задачи с неравенствами.
Теория вероятностей
Теория чисел.
Матрицы, определители, системы линейных и нелинейных уравнений.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
Матанализ: предел и непрерывность, числовые и функциональные ряды и последовательности.
Комплексные числа и действия над ними.
Задачи теории функций комплексного переменного и задачи, решающиеся методами теории функций комплексного переменного.
Элементы высшей алгебры.
Комбинаторика.
Теория игр.
Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения.
Рекуррентные соотношения.
Пространственная геометрия.
Задачи с неравенствами.
Теория вероятностей
Список источников
Задачи студенческих математических олимпиад / В. А. Садовничий, А. А. Григорьян, С. В. Конягин. - М.: Изд-во Моск. университета, 1987.
День недели
среда
Время
15:00-16:35
Аудитория
1404
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Уравнения с частными производными первого порядка: от классической локальной теории к глобальным энтропийным решениям
Название спецкурса на английском языке
First order partial differential equations: from classical local theory to global entropy solutions
Пререквизиты
дифференциальные уравнения (в размере третьего семестра)
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Характеристики линейных, квазилинейных и нелинейных уравнений.
Уравнение эйконала. Каустики и эволюты. Волновые фронты и их особенности.
Классические решения квазилинейных уравнений и образование разрывов.
Обобщённые решения, условие Ранкина-Гюгонио, потеря единственности. Условие разрешимости разрыва.
Энтропийные решения. Диссипация и дисперсия. Уравнение Кортевега-де Фриза. Солитоны.
Ударные волны. Решение задачи Римана о распаде разрыва.
Уравнение эйконала. Каустики и эволюты. Волновые фронты и их особенности.
Классические решения квазилинейных уравнений и образование разрывов.
Обобщённые решения, условие Ранкина-Гюгонио, потеря единственности. Условие разрешимости разрыва.
Энтропийные решения. Диссипация и дисперсия. Уравнение Кортевега-де Фриза. Солитоны.
Ударные волны. Решение задачи Римана о распаде разрыва.
Список источников
Горицкий А.Ю., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. Ленанд, Москва 2022
Дополнительная информация
Очень симпатичная, несложная, геометрическая теория уравнений с частными производными первого порядка по стечению обстоятельств выпадает из стандартных учебных программ математических специальностей.
Курс обыкновенных дифференциальных уравнений обычно заканчивается темой "Уравнения с частными производными первого порядка", где изучается только локальная теория, и, как правило, только линейные уравнения. Изредка изложение касается и квазилинейных уравнений, нелинейные же УрЧП первого порядка из курса ОДУ выпадают полностью.
Ну а обязательные курсы "Уравнения с частными производными" или "Уравнения математической физики", как и стандартные учебники по этим наукам для третьекурсников, посвящены (исключительно) линейным уравнения (и только) второго порядка.
Этим спецкурсом попытаюсь перекинуть мостик от локальной теории, изучаемой на 2 курсе, к важнейшему в УрЧП понятию обобщённого решения в смысле интегрального тождества.
Также этот спецкурс даст возможность студентам-механикам на простых примерах усвоить некоторые базовые понятия механики сплошной среды.
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1403
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1403
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.