[Кафедра дифференциальной геометрии и приложений]

Спецкурс посвящен введению в теорию биллиардов - динамических систем с ударами (отражениями от границы). Вдоль траекторий системы сохраняется энергия и независимая с ней функция – первый интеграл системы. Такие системы называют интегрируемыми. В их число входят биллиарды внутри прямоугольника, круга или эллипса. 

Данный спецкурс продолжает полугодовой спецкурс "Элементы топологии интегрируемых биллиардов" осеннего семестра, но многие темы будут рассказываться независимо или с повтором ключевых понятий и результатов. 

В рамках курса будут описаны инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем, позволяющие устанавливать эквивалентность двух систем на уровне топологии слоений Лиувилля - замыканий решений системы. Такие инварианты будут вычислены для различных обобщенных биллиардов, в том числе систем топологических биллиардов и биллиардных книжек, биллиардов с потенциалом. В завершающем разделе курса топологический подход будет применен для анализа систем классической механики и их псевдоевклидовых аналогов. 

Особых предварительных знаний от слушателей не предполагается - а для первичного ознакомления с материалом осеннего семестра, в целом, достаточно пособия лекторов [2], которое предоставляется ими по заявке слушателя. 

Особых знаний от слушателей не предполагается. Краткий<br>конспект будет вывешиваться на сайте кафедры дифференциальной геометрии и приложений http://dfgm.math.msu.su в разделе 'Спецкурсы' (там же полная программа). Весенняя часть спецкурса не зависит от его предыдущей осенней части.

Страничка курса на сайте кафедры: https://dfgm.math.msu.su/courses.php?comments=19 . Там также будут выкладываться конспекты лекций.

Аннотация: Расстояние Громова-Хаусдорфа измеряет степень неизометричности метрических пространств: для изометричных пространств расстояние равно нулю, и чем более "непохожи" пространства друг на друга, тем это расстояние больше. Имеется много приложений расстояния Громова-Хаусдорфа, как в фундаментальной науке, так и в прикладных областях, например, при изучении скорости роста дискретных групп, в компьютерной графике и вычислительной геометрии, в теории распознавания образов, в робототехнике, и даже в космологии.

Однако в классическом определении расстояния Громова-Хаусдорфа никак не учитываются дополнительные структуры, которыми могут быть наделены метрические пространства. Даже топология, порождаемая метрикой, игнорируется этим расстоянием (наилучшие "сравнения" пространств не обязаны быть непрерывными). Имеется много разных модификаций, согласованных с теми или иными дополнительными структурами. Например, при изучении квантовых метрических пространств модифицированное расстояние учитывает структуру упорядоченного линейного пространства, в котором "живет" пространство состояний. Другой пример - изучение расстояний между динамическими системами, что позволяет сравнивать между собой решения систем дифференциальных уравнений. Тут требуется учитывать непрерывность. Однако в известной нам современной монографии модификация расстояния Громова-Хаусдорфа перестает удовлетворять неравенству треугольника, что приводит к существенному усложнению доказательств даже самых естественных фундаментальных свойств. С другой стороны, имеется публикация, авторы которой определяют "непрерывное" расстояние, удовлетворяющее неравенству треугольника. Они показывают, что это расстояние может отличаться от классического, скажем, в случае стандартных сфер разной размерности. Но фундаментального исследования в работе не проводится. 

В нашем спецкурсе последняя модификация занимает одно из основных мест. В наших работах мы описали базовые свойства этого расстояния и выяснили ряд любопытных вещей. Например, это расстояние хорошо "чувствует" топологическую размерность. В спецкурсе мы расскажем об этой новой теории. Кроме того, мы приведем примеры и других модификаций расстояния Громова-Хаусдорфа, а также обсудим полученные нами результаты. Мы сформулируем много задач, решение которых нам не известно, так что заинтересованные слушатели будут иметь возможность принять активное участие в развитии этой теории и, в случае успеха, опубликовать свои результаты. 

Отметим, что в наших лекциях мы будем параллельно рассказывать и теорию классического расстояния Громова-Хаусдорфа, а также обсуждать, в чем она схожа, а в чем отличается от теории «непрерывного» расстояния. 

Спецкурс будет читаться on-line, ссылку на трансляцию можно получить у авторов спецкурса.