Список источников
[1] Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes, edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
[2] Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhдuser (1999). ISBN 0-8176-
3898-9 (translation with additional content).
[3] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann\T2A\textendashBernays\T2A\textendashG\T2A\cyrcdel_
set_theory
[5] Ivanov A.O., Tsvetnikov R.A., Tuzhilin A.A. Path Connectivity of Spheres in the Gromov-Hausdorff Class, 2021,
ArXiv e-prints, arXiv:2111.06709 [math.MG].
[6] Ihttp://dfgm.math.msu.su/files/ivanov-tuzhilin/2021-2022/GromovHausdorff.pdf
[7] Tuzhilin A.A. Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov–Hausdorff Distance, 2016,
ArXiv e-prints, arXiv:1605.01566v1 [math.MG].
[8] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to
Regular Simplexes, 2016, ArXiv e-prints, arXiv:1607.06655v1 [math.MG].
[9] Grigor’ev D.S., Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Gromov–Hausdorff Distance to Simplexes, 2019, ArXiv e-prints,
arXiv:1906.09644v1 [math.MG].
[10] Ivanov A.O., Lychagina E.S., Tuzhilin A.A. Metric Space Recognition by Gromov–Hausdorff Distances to
Simplexes, 2024, ArXiv e-prints, arXiv:2412.18949v1 [math.MG].
[11] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov–Hausdorff Distances to
Regular Simplexes, 2016, ArXiv e-prints, arXiv:1607.06655v1 [math.MG].
[12] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff Distances between Simplexes and Ultrametric Spaces, 2019,
ArXiv e-prints, arXiv:1907.03828v1 [math.MG].
[13] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov-Hausdorff Distances
to Simplexes, 2019, ArXiv e-prints, arXiv:1906.10574v1 [math.MG].
[14] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. The Gromov–Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces, 2019,
ArXiv e-prints, arXiv:1907.09942v1 [math.MG].
[15] Лекции по геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа, 2021.
[16] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Gromov–Hausdorff Distance, Irreducible Correspondences, Steiner Problem, and
Minimal Fillings, 2016, ArXiv e-prints, arXiv:1604.06116v1 [math.MG].
[17] Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И., Л екции по теории графов, М.: УРСС,
2019.
[18] Hadwiger H. Uberdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers ¨ . Commentarii Mathematici
Helvetici, 1945, v. 18, N 1, pp. 73–75.
[19] Hadwiger H. Mitteilung betreffend meine Note: Uberdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers ¨ .
Commentarii Mathematici Helvetici, 1946, v. 19.
[20] Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc., 1993, v. 29, N 1, 60–62.
[21] Райгородский А.М. Вокруг гипотезы Борсука. Геометрия и механика, СМФН, 23, РУДН, М., 2007, 147–164;
Journal of Mathematical Sciences, 2008, v. 154, N 4, 604–623.
[22] Mikhailov I.N. Ultrametric spaces and clouds, ArXiv e-prints, arXiv:2501.19346v1 [math.MG].
[23] Talipov T. Gromov-Hausdorff distance between vertex sets of regular polygons inscribed in a given circle, 2022,
ArXiv e-prints, arXiv:2210.09971v1 [math.MG].
[24] Ivanov A.O., Mikhailov I.N., Tuzhilin A.A. Gromov-Hausdorff Geometry of Metric Trees, 2024, ArXiv e-prints,
arXiv:2412.18888v1 [math.MG].
[25] Adams H., Majhi S., Manin F., Virk Z., Zava N. Lower-bounding the Gromov–Hausdorff distance in metric graphs,
2024, ArXiv e-prints, arXiv:2411.09182.
[26] Adams H., Frick F., Majhi S., McBride N. Hausdorff vs Gromov–Hausdorff distances, 2024, ArXiv e-prints,
arXiv:2309.16648 [math.MG].
[27] Hausmann J.-C.. On the Vietoris–Rips complexes and a cohomology theory for metric spaces. Annals of
Mathematics Studies, 1995, v. 138, pp. 175–188.
[28] Virk Z. Rips complexes as nerves and a functorial Dowker-nerve diagram. Mediterranean Journal of Mathematics,
2021, v. 18, N 2, pp. 1–24.
[29] Munkres J.R. Elements of Algebraic Topology, Westview Press, 1996.
[30] Alexandroff P.S. Uber den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen ¨
Anschauung. Mathematische Annalen, 1928, v. 98, N 1, pp. 617–635.
[31] Borsuk K. On the imbedding of systems of compacta in simplicial complexes. Fundamenta Mathematicae, 1948,
v. 35, N 1, pp. 217–234.
[32] Hatcher A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
[33] Hausmann J.C. Mod Two Homology and Cohomology. Universitext. Springer International Publishing, 2015.
[34] Lim S., Memoli F., Smith Z. The Gromov–Hausdorff distance between spheres. Geometry & Topology, 2023, v.
27, N 9, pp. 3733–3800.
[35] Bollobas B. The art of mathematics: Coffee time in Memphis, Cambridge University Press, 2006.
[36] Chowdhury S., Memoli F. Explicit geodesics in Gromov-Hausdorff space, Electronic Research Announcements,
2018, vol. 25, pp. 48–59.
[37] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances
to Simplexes. 2019, ArXiv e-prints, arXiv:1906.10574 [math.MG].
[38] Chazal F., de Silva V., Oudot S. Persistence stability for geometric complexes. Geometriae Dedicata, 2014, v.
174, pp. 193–214.
[39] Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Исследовательский институт математики и механики при I МГУ, 1930.
[40] Matou˘sek J. Using the Borsuk-Ulam theorem: lectures on topological methods in combinatorics and geometry,
Springer Science & Business Media, 2003.
[41] Munkholm H.J. A Borsuk-Ulam theorem for maps from a sphere to a compact topological manifold, Illinois Journal
of Mathematics, 1969, vol.13, N 1, pp. 116–124.
[42] Dubins L., Schwarz G. Equidiscontinuity of Borsuk-Ulam functions, Pacific Journal of Mathematics, 1981, vol.
95, N 1, pp. 51–59.
[43] https://math.stackexchange.com/questions/2869360/the-lusternik-schnirelmann-theorem-for-ope
n-and-closed-sets
[44] Freund R.M., Todd M.J. A constructive proof of Tucker’s combinatorial lemma. J. Combinatorial Theory, Ser.
A, 1981, v. 30, pp. 321–325.
[45] Harrison M., Jeffs R.A. Quantitative upper bounds on the Gromov–Hausdorff distance between spheres, 2024,
ArXiv e-prints, arXiv:2309.11237v3 [math.MG].
[46] Martin S.R. Some novel constructions of Gromov-Hausdorff-optimal correspondences between spheres, 2025,
ArXiv e-prints, arXiv:2409.02248v2 [math.MG].
[47] Martin S.R. Gromov-Hausdorff distances from simply connected geodesic spaces to the circle, 2024, ArXiv e-prints,
arXiv:2404.05153v2 [math.MG].
[48] Carlsson G.E., Memoli F. Characterization, stability and convergence of hierarchical clustering methods, J. Mach.
Learn. Res., 2010, vol. 11, pp. 1425–1470.
[49] Ji Y., Tuzhilin A.A. Gromov-Hausdorff Distance Between Segment and Circle, 2021, ArXiv e-prints,
arXiv:2101.05762 [math.MG].
[50] Dunford N., Schwartz J.T. Linear operators, v. 1, Wiley-Interscience (1958).
[51] https://en.wikipedia.org/wiki/Arzel\T2A\cyra\T2A\textendashAscoli_theorem
Дополнительная информация
Желающие присоединиться с слушателям спецкурса, пожалуйста, напишите сначала или
Александру Олеговичу Иванову, или Алексею Августиновичу Тужилину
----------------------------
Ссылка на наш сайт: http://dfgm.math.msu.su/courses.php?comments=19
----------------------------
Аннотация курса
Знаменитое расстояние Громова-Хаусдорфа измеряет степень неизометричности метрических пространств: у изометричных пространств расстояние равно нулю, и чем более пространства "не похожи" друг на друга, тем это расстояние больше. Задача вычисления расстояния Громова-Хаусдорфа между конечными метрическими пространствами является NP-трудной, и к настоящему времени известно лишь небольшое число конкретных значений. Наиболее хорошо изучен случай пространств с одним ненулевым расстоянием (мы называем такие пространства метрическими симплексами), и здесь хватает геометрических и комбинаторных методов. Однако уже для вычисления расстояния между стандартными сферами разных размерностей такой подход к успеху не приводит. В последние годы были разработаны методы, позволяющие находить расстояния Громова-Хаусдорфа с использованием традиционных инвариантов алгебраической топологии, а именно фундаментальных групп и гомологий. Впрочем, для стягиваемых пространств был предложен оригинальный метод ультраметризации: данное метрическое пространство каноническим образом заменяется на ультраметрическое, а расстояние Громова-Хаусдорфа между исходной парой пространств оценивается снизу расстоянием между полученными ультраметрическими пространствами (верхние оценки обычно получаются из геометрических соображений). Преимущество этого метода состоит в том, что стягиваемое пространство превращается в точку, а, скажем, вершины правильного многоугольника, правильного многогранника или точки кубической решетки – в метрический симплекс.
В наших лекциях мы приведем все определения и предварительные результаты, необходимые для понимания основной части курса. Мы начнем с краткого обзора геометрической теории расстояния Громова-Хаусдорфа, в частности, обсудим известные результаты о расстояниях до симплексов и некоторые приложения этой теории, например, к изучению минимальных остовных деревьев, вычислению хроматических чисел и чисел покрытия графов, решению проблемы Борсука о разбиении ограниченного метрического пространства на части меньшего диаметра. Затем мы сформулируем и докажем теорему об ультраметризации, а также приведем многочисленные следствия из нее. Далее мы определим фундаментальную группу пунктированного топологического пространства и обсудим, как можно использовать эти группы для вычисления расстояния между окружностью и другими пространствами. Следующим шагом будет изложение основ симплициальной теории гомологий и ее связи с сингулярными гомологиями. Мы покажем, как по подмножеству метрического пространства можно построить классические симплициальные комплексы Чеха и Вьеториса-Рипса, сформулируем и докажем теоремы, которые позволяют оценить снизу расстояние Громова-Хаусдорфа через известные группы гомологий многообразия (поверхности) с использованием этих комплексов. Дальнейшие лекции основаны на теоремах типа Борсука-Улама, которые описывают свойства непрерывных отображений сфер, а также шаров в сферы. Мы расскажем о разных вариантах этих теорем, приведем их подробные доказательства, и применим полученные результаты для оценки и вычисления расстояния Громова-Хаусдорфа. В конце курса мы расскажем о вычислении расстояния Громова-Хаусдорфа между отрезком и окружностью, которое основано на нетривиальных оценках, не использующих методы алгебраической топологии.
Для понимания данного курса требуется начальное представление об общей топологии и алгебре коммутативных групп. Все остальное мы будем подробно разъяснять, давая столько деталей, сколько требуется слушателям для комфортного восприятия. Считаем, что наши лекции будут доступны даже студентам первого курса, а интересны эти лекции могут быть как старшекурсникам, так и аспирантам.
Первая лекция в весеннем семестре 2024–2025 учебного года состоится 19 февраля 2025.
