[Кафедра дифференциальной геометрии и приложений]

1 Введение
   1.1 Расстояние Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа
      1.1.1 Общее устройство обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.2 Базовые подмножества обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.3 Расстояние Хаусдорфа
      1.1.4 Расстояние Громова-Хаусдорфа
      1.1.5 Элементы теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя
      1.1.6 Расстояние Громова-Хаусдорфа и соответствия
      1.1.7 Обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа является внутренней
      1.1.8 Неприводимые соответствия
      1.1.9 Пространство Громова-Хаусдорфа
2 Изометричные отображения в классе Громова-Хаусдорфа
   2.1 Группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа
      2.1.1 Расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов
      2.1.2 Симплексы большей мощности
      2.1.3 Симплексы не большей мощности
      2.1.4 Равномощные симплексы
   2.2 Пространства ℰn(λ) и ℱn(λ) для произвольной мощности n ≥ 2
   2.3 Представление конечных метрических пространств векторами расстояний
   2.4 Векторы расстояний общих метрических пространств
   2.5 Пространства общего положения и изометрии: случай ℳ
   2.6 Алгебраическое завершение доказательства

Актуальная информация о спецкурсе тут: https://t.me/+VafYZHMmGks0YjYy
Слушатели приглашаются присоединиться к группе

Вся информация в группе ТГ  https://t.me/+VafYZHMmGks0YjYy

Слушатели приглашаются присоединиться к группе

Осенний семестр
1. Гладкие кривые с вычислительной точки зрения
2. Сплайны
2.1. сплайны Эрмита
2.2. псевдоупругие сплайны Эрмита
2.3. кубические сплайны
2.4. сплайны Лагранжа и Ньютона

3. Кривые Безье
3.1. алгоритм де Кастелье
3.2. деление кривой Безье
3.3. увеличение числа опорных точек).

4. Поверхности Безье
4.1. деление поверхности Безье
4.2. измельчение сетки поверхности Безье

5. Проективные (рациональные) кривые Безье
5.1. деление кривой
5.2. увеличение числа опорных точек
5.3. производные на концах кривой
5.4. представление кривых второго порядка рациональными кривыми Безье

6. Рациональные поверхности Безье

Весенний семестр

7. B-сплайны, B-кривые и B-поверхности
7.1. разделенные разности
7.2. рекуррентные соотношения
7.3. алгоритм Де Бура
7.4. интерполяция с помощью B-кривых

8. Другие способы представления поверхностей в компьютерной геометрии
8.1. линейчатые поверхности
8.2. секториальные поверхности
8.3. поверхности Кунса
8.4. поверхности, построенные по остову из кривых
8.5. поверхности с треугольной параметрической областью

1. Гладкие кривые с вычислительной точки зрения
2. Сплайны
2.1. сплайны Эрмита
2.2. псевдоупругие сплайны Эрмита
2.3. кубические сплайны
2.4. сплайны Лагранжа и Ньютона

3. Кривые Безье
3.1. алгоритм де Кастелье
3.2. деление кривой Безье
3.3. увеличение числа опорных точек).

4. Поверхности Безье
4.1. деление поверхности Безье
4.2. измельчение сетки поверхности Безье

5. Проективные (рациональные) кривые Безье
5.1. деление кривой
5.2. увеличение числа опорных точек
5.3. производные на концах кривой
5.4. представление кривых второго порядка рациональными кривыми Безье

6. Рациональные поверхности Безье

B-сплайны, B-кривые и B-поверхности
1 разделенные разности
2. рекуррентные соотношения
3. алгоритм Де Бура
4. интерполяция с помощью B-кривых

Другие способы представления поверхностей в компьютерной геометрии
1. линейчатые поверхности
2. секториальные поверхности
3. поверхности Кунса
4. поверхности, построенные по остову из кривых
5. поверхности с треугольной параметрической областью

Годовой спецкурс для студентов, начиная с 1 курса - до аспирантов.
1.Осенний семестр
ВВЕДЕНИЕ
Кривые на плоскости и в пространстве.
Тема 1. ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Двумерные поверхности. Погружения и вложения двумерных поверхностей в евклидово пространство. Сфера Александера. Теорема классификации двумерных поверхностей. Связная сумма. Ориентируемость и неориентируемость. Свойства проективной плоскости, бутылки Клейна, сфер с ручками.
Тема 2. МНОГОМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ (МНОГООБРАЗИЯ).
Многомерные многообразия как поверхности в евклидовом пространстве. Задание гладкого многообразия при помощи локальных карт и атласа. Теоремы Уитни и вложении и погружении многообразий в евклидово пространство. Трехмерные многообразия. Разложение трехмерной сферы в сумму двух полноторий. Расслоение Хопфа. Многомерные проективные пространства. Матричные группы как гладкие многообразия.
Тема 3. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (КОМПЛЕКСЫ)
Симплициальные пространства. Триангуляции и клетки. Гомотопия, гомотопическая эквивалентность. Изотопия. Теория накрытий. Степень отображения гладких многообразий. Фундаментальная группа клеточного комплекса (образующие и соотношения). Накрытия и фундаментальная группа. Теорема о накрывающей гомотопии. Универсальные накрытия. Теорема ван Кампена (без док-ва). Разветвленные накрытия. Римановы поверхности алгебраических функций и их связь с накрытиями и двумерными многообразиями.
Тема 4. ГОМОЛОГИИ
Симплициальные гомологии. Клеточные гомологии. Теорема об их совпадении для "хороших пространств" (без док-ва). Эйлерова характеристика. Основные
свойства групп гомологий. Примеры вычисления. Точная гомологическая последовательность пары.
Тема 5. ТЕОРИЯ МОРСА
Невырожденные критические точки, их индекс. Лемма Морса. Основные
свойства функций Морса. Перестройки поверхностей уровня функций Морса.
Операция приклейки ручек. Основная теорема теории Морса (связь между клеточной структурой многообразия и критическими точками функции).
Простые и сложные функции Морса. Понятие атома-бифуркации.
Молекулы и функции Морса. Послойная классификация функций Морса на
двумерных поверхностях. Категория Люстерника-Шнирельмана. Точки бифуркаций функций. Теорема Люстерника-Шнирельмана (связь между категорией и числом точек бифуркации функции.
2. Весенний семестр
Тема 6. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГРУППАХ ЛИ И АЛГЕБРАХ ЛИ
Матричные группы как гладкие многообразия и как группы Ли. Алгебра Ли
и ее связь с группой Ли. Матричные группы малых размерностей.
Тема 7. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Линейная симплектическая структура. Изотропность, лагранжевость. Группа симплектических преобразований.
Тема 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Симплектическая структура на многообразии. Теорема Дарбу. Канонические симплектические координаты. Примеры симплектических многообразий (кокасательные расслоения и т.п.). Косой градиент и гамильтоновы векторные поля (динамические системы). Связь с потенциальными векторными полями. Лемма Пуанкаре. Несжимаемые потоки идеальной жидкости. Комплексные потенциалы. Скобка Пуассона и ее основные свойства. Тождество Якоби для скобки Пуассона.
Тема 9. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Интегралы гамильтоновых полей. Инволютивность. Теорема Лиувилля. Полная
интегрируемость по Лиувиллю. Отображение момента интегрируемой системы.
Бифуркации торов Лиувилля и топология интегрируемой системы. Уравнения
движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве (уравнения
Эйлера-Пуассона). Знаменитые случаи интегрируемости: случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.