[Кафедра газовой и волновой динамики]

Косой изгиб. Совместное действие изгиба и растяжения. Криволинейные стержни. Модель Тимошенко для изгиба балки.
Совместное действие кручения и изгиба. Возможная потеря устойчивости при изгибе. Балки на упругом основании. Общее решение. Решение для сосредоточенной внешней силы.
Пластины. Уравнения равновесия при малых прогибах (уравнения Софи-Жермен).
Постановка граничных условий для пластин. Примеры решения задач.
Оболочки для произвольной формы начальной геометрии срединной поверхности. Уравнения равновесия жёстких оболочек. Примеры уравнений для конкретных геометрических форм.
Потеря устойчивости равновесной формы оболочек под действием внешней нагрузки. Геометрическая теория устойчивости. Примеры решения задач.
Динамическое действие нагрузок. Учет сил инерции. Напряжения при колебаниях.
Напряжения при ударных нагрузках. Волны сильного разрыва. Примеры.
Прочность материала при переменных напряжениях. Циклические нагрузки и выносливость материала.
Основы вариационного исчисления. Функционалы для функции нескольких переменных. Примеры.
Вариационные принципы механики. Примеры получения дифференциальных уравнений механики с помощью вариационных принципов. Вариационные принципы теории упругости. Метод Рица – Тимошенко. Примеры изгиба балки и пластины.
Вариационный принцип Кастильяно. Применение в задачах кручения.
Практическая реализация метода Рица. Метод понижения размерности Канторовича - Власова.
Основы метода конечных элементов.
Основы метода граничных элементов.
Упругопластическое поведение материалов. Условия пластичности.
Теория малых упругопластических деформаций. Теория течения.
Концентрация напряжений. Теория прочности в сопромате. Основные силовые и деформационные критерии прочности. Энергетические критерии прочности.

Предмет изучения. Основные понятия. Основные гипотезы и принципы. Понятие о расчетной схеме. Классификация внешних сил. Внутренние напряжения в сечении образца.
Деформации. Обобщенный закон Гука. Классификация геометрических форм.
Статические моменты сечения. Геометрический центр тяжести сечения. Геометрические моменты инерции сечения.
Статически определимые и неопределимые задачи. Примеры решения задач.
Одноосное напряженное состояние (растяжение – сжатие). Работа внешних и внутренних сил при растяжении (сжатии). Потенциальная энергия при одноосном напряженном состоянии. Критерий прочности при одноосном напряженном состоянии. Примеры решения задач.
Точное решение задачи изгиба призмы.
Гипотеза плоских сечений. Приближённые методы решения задачи изгиба. Статически определимые задачи изгиба. Эпюры момента и перерезывающей силы. Распределение нормальных напряжений.
Изгиб. Определение перемещений. Расчет статически неопределимых балок. Потенциальная энергия при чистом изгибе.
Рациональные формы сечений балки. Примеры решения задач.
Касательные напряжения при изгибе. Инженерные методы расчета касательных напряжений. Распределение касательных напряжений. Примеры решения задач.
Точные решения задач кручения в рамках механики сплошной среды.
Сведение задач статики теории упругости к краевым задачам ТФКП. Распределение напряжений. Концентрация напряжений при кручении.
Инженерные методы решения задач кручения. Крутящие моменты. Задача кручения стержней произвольного сечения.
Кручение тонкостенных трубчатых стержней. Потенциальная энергия при кручении. Рациональные формы сечений при кручении.
Примеры решения задач.
Устойчивость равновесной формы. Устойчивость стержней при сжатии. Формула Эйлера для критической силы. Рациональные формы сечений сжатых стержней. Примеры решения задач.
Влияние способов закрепления концов стержня. Эмпирические формулы для критической силы. Потеря устойчивости при продольно – поперечном изгибе.
Динамическая неустойчивость стержня под действием внезапно приложенной силы. Поведение тела при потере устойчивости.

Поверхностные волны Рэлея. Постановка задачи и доказательство существования волн. Отсутствие дисперсии для волн Рэлея. Волны в слоистом упругом полупространстве (Волны Лява). Доказательство существования волн. Дисперсия волн. Понятие о простейшем волноводе на примере волн в упругом слое. Ограничения на длины волн в волноводе (длина волны отсечки).
Волны в упругой пластине. Симметричные и антисимметричные моды колебаний. Предельные случаи скоростей волн в зависимости от величины отношения длины волны к толщине пластины.
Волны в круглом стержне в предположении осевой симметрии движения. Дисперсия волн в круглом стержне. «Стержневая скорость» как предельный случай величины скорости возмущений для длинных, по сравнению с диаметром стержня, волн.
Стационарные колебания упругого тела. Использование интегральных преобразований в теории упругости. Пример построения решения плоской задачи Лэмба – о колебаниях упругой полуплоскости под действием периодической во времени сосредоточенной нагрузке, приложенной на границе. Выделение волн Рэлея.
Волновое уравнение и уравнение Эйконала. Метод функционально-инвариантных решений волнового уравнения (Метод Смирнова – Соболева).Общее решение волнового уравнения. Частные случаи общего решения (решение в форме плоской волны, решение в форме «комлексной» волны).
Построение решения для взаимодействия волны произвольного профиля возмущений с границей раздела двух сред с помощью функционально инвариантных решений в случае регулярного взаимодействия.
Использованием функционально инвариантных решений для исследования волн Рэлея произвольного профиля. Нерегулярное взаимодействие волны произвольного профиля с границей раздела сред. Полное внутреннее отражение.
Однородные комплексные функционально инвариантные решения волнового уравнения и их использование для автомодельных плоских задач теории упругости.
Понятие о дифракции волн. Построение решения дифракции плоской волны поперечной поляризации (H-V) на препятствии в виде абсолютно гладкого жесткого клина заданного угла раствора.
Использование функционально инвариантных решений для плоских нестационарных задач теории упругости. Представление перемещений и напряжений в виде действительной части от комбинации комплексных потенциалов продольных и поперечных волн.
Решение автомодельной задачи о нестационарном воздействии давлением на границу упругой полуплоскости.
Задача о внезапной нагрузке упругой полуплоскости подвижной сосредоточенной силой. Нестационарная задача Лэмба, как частный случай рассмотренного решения. Пример решения нестационарной задачи Лэмба (Метод Каньяра).
Пример волн, разделяющих среды с разной реологией (волны разгрузки Рахматулина).
Специфика распространения волн при наличии внешнего сухого трения. Волновые задачи для стержня с внешним сухим трением. Волны в нити на шероховатой поверхности.
Нелинейные волны в нити. Пример исследования квазилинейной системы уравнений нити.
Волны сильного разрыва в нити. Условия на фронте сильного разрыва в многомерном случае.
Волновая задача для переменной во времени области. Влияние скорости границы. Влияние геометрических связей. Вынужденные сильные разрывы.

Волны с энерговыделением. Детонация и горение. Сильная и слабая детонация, сильная и слабая дефлаграция (горение).
Процессы Чепмена-Жуге (минимальная скорость стационарной детонации, максимальная скорость стационарной дефлаграции). Стационарность изменения энтропии вдоль кривой Гюгонио и прямых Михельсона в точках Чепмена-Жуге.
Изменение энтропии вдоль адиабаты Гюгонио с энерговыделением и вдоль прямых Михельсона.
Степень определенности решения задач о поршне при наличии волн детонации или горения.
Примеры решения задач о распространении волн сильной и слабой детонации или дефлаграции в трубе при движении в ней поршня с положительной или отрицательной скоростью.
Переходные режимы задач распространения волн с энерговыделением. Переход горения в детонацию, расщепление детонационной волны на ударную и отстающую от нее волну горения. Галоппирующие режимы. Пульсирующая и спиновая детонация.
Полная система уравнений физико-химической газовой динамики многокомпонентных сред с учетом теплообмена, диффузии и физико-химических превращений. Осредненные модели турбулентности и необходимость их применения при численном решении задачи. Подсеточная турбулентность. Постановка граничных условий.
Моделирование кинетики химических реакций. Сокращенные кинетические механизмы. Роль цепных реакций при возникновении детонации.
Численное моделирование задач распространения турбулентного горения и перехода горения в детонацию. Роль геометрических факторов при возникновении переходных режимов и расщеплении детонационных волн. Возникновение низкоскоростной детонации и высокоскоростного горения. Влияние состава и температуры смеси на переходные режимы.
Инициирование детонации при отражении ударных волн и их фокусировки в конических и клиновидных кавернах. Сравнение вычислительного моделирования и экспериментов в ударных трубах.
Промежуточная аттестация: коллоквиум (указывается форма проведения)
Применение детонации в двигателях, использующих принципы детонационного горения. Устройства с пульсирующей детонационной волной и с непрерывно вращающейся детонационной волной.
Детонация и горение в гетерогенных средах. Процессы внутри зоны реакции. Основные уравнения для описание химически реагирующих течений в многофазных средах. Параметры межфазных взаимодействий. Применение метода Эйлера для описания движения газовой фазы и метода Лагранжа для описания движения диспергированной фазы.
Аэровзвеси. Горение капли горючего в атмосфере окислителя. Задачи диффузионного горения. Равновесные и неравновесные модели испарения.
Учет многостадийности химических реакций в рамках решения задач диффузионного горения. Примеры горения капель в режиме «холодного» пламени. Результаты экспериментов в условиях микрогравитации.
Взаимодействие капель жидкости с газовым потоком, два режима испарения. Вычислительное моделирование распространения пламени в аэровзвеси, перехода горения в детонацию, воспламенения струи при попадании в камеру сгорания, воспламенение облака частиц при падении на него ударной волны.
Горение частиц, содержащих твердые и жидкие горючие компоненты в атмосфере окислителя. Гетерогенные реакции. Динамика выгорания частиц. Распространение турбулентного горения в аэровзвеси в замкнутом объеме. Роль начальной турбулизации при определении времени и энергии зажигания, а также скорости распространения турбулентного пламени. Влияние неоднородности аэровзвеси на пределы зажигания.
Горение поверхности горючего в потоке окислителя. Решение задачи в рамках приближений плоского пограничного слоя. Распространение пламени навстречу потоку.
Результаты вычислительного моделирования распространения пламени над поверхностью горючего материала в спутном потоке, сравнение с точными решениями пограничного слоя. Неустойчивость фронта горения. Моделирование неустановившихся процессов запуска гибридного двигателя.

Основные характеристики горения. Предварительно перемешанные и не перемешанные системы, гомогенные и гетерогенные смеси. Горение и «фальшивое» горение. Теория Михельсона-Чепмена-Жуге.
Основные соотношения на фронте реакции в гомогенных газовых смесях, рассматриваемом как поверхность разрыва. Рассмотрение течений, содержащих волны горения и детонации, как областей неустановившегося непрерывного течения газов, разделенных поверхностями сильного разрыва, на которых происходит энерговыделение вследствие химических реакций.
Уравнения неустановившегося одномерного движения сжимаемой двухпараметрической среды и их характеристическая форма. Понятия нормального и исключительного газа. Простые волны. Существование простых волн разрежения в нормальном газе и невозможность длительного существования волн сжатия без образования ударной волны.
Ударные волны. Адиабата Гюгонио. Невозможность ударных волн разрежения в нормальном газе (теорема Цемплена). Задача о сильном взрыве. Распад произвольного разрыва в газе. Кривая Гюгонио в средах с энерговыделением. Дефлаграция как скачек разрежения. Детонация и дефлаграция Чепмена-Жуге. Основные свойства фронта реакции.
Основные характеристики сильной (пересжатой) и слабой (недосжатой) детонации, сильной (быстрой) и слабой (медленной) дефлаграции. Степень определенности течения при детонации и горении. О корректности постановки задач, содержащих поверхности разрыва с химическими реакциями. Автомодельные течения, содержащие фронт детонации или дефлаграции. Определение скорости распространения детонационных волн. Гипотеза Жуге.
Модели течений, учитывающие конечный размер зоны детонации(Модели Гриба-Зельдовича-Неймана-Деринга). Детонация как дефлаграция, введенная ударной волной. Случаи немонотонного энерговыделения в зоне реакции за ударной волной. Псевдонедосжатая детонация. Структура течения в стационарной зоне детонации (модель с одной обобщенной брутто реакцией). Устойчивость решения для сильной детонации и неустойчивость решения для слабой детонации.
Расчет структуры зоны детонации с учетом внешних воздействий: трения на стенках трубы, теплопотерь, притока или оттока массы, изменения площади сечения. Закон обращения воздействий. Условие самоподдерживающегося распространения головной ударной волны как условие существования звуковой поверхности (плоскости Чепмена-Жуге) в течении за волной. Множественность скоростей звука. Определение скорости самоподдерживающейся детонации.
Определение скорости нормального горения гомогенных смесей. Экспериментальное определение, основанное на законе В.А. Михельсона. Модель и определяющие уравнения тепловой теории распространения пламени. Приближенное определение скорости горения по Малляру-Ле Шателье, по Зельдовичу-Франк-Каменецкому, и с учетом потерь в рамках модели конечной длины зоны реакции.
Исследование уравнений классической теории горения в постановке Колмогорова-Петровского-Пискунова.
Твердопламенное безгазовое горение - волновая локализация твердофазных реакций Мержанова-Боровинской-Шкиро. Самораспространяющийся высокотемпературный синтез как область приложения твердопламенного горения.
Влияние крупномасштабной и мелкомасштабной турбулентности на распространение фронта горения. Неустойчивость фронта горения в газах, явление автотурбулизации. Ускорение турбулентного пламени. Контроль скорости турбулентного горения при избирательном внешнем подводе энергии.
Промежуточная аттестация: коллоквиум
Переход горения в детонацию в газах. Различие сценариев переходных процессов. Возникновение детонационных волн на контактных неоднородностях потока перед ускоряющимся фронтом пламени.
Развитие моделей переходных процессов. Модель спонтанного перехода Зельдовича. Модель «взрыва во взрыве» Оппенгейма. Модель формирования очагов детонации в «горячих точках».
Взаимодействие ударной волны с фронтом пламени. Эксперименты Томаса. Прямое численное моделирование Оран.
Волны детонации и дефлаграции со сферической и цилиндрической симметрией. Решение Л.И.Седова.
Спиновая детонация в газах. Структура детонационного фронта. Схема Зельдовича. Модель Войцеховского-Митрофанова-Топчияна. Две схемы сопряжения поперечной волны с головной.
Ячеистая структура детонации. Численное моделирование формирования двумерных ячеек в плоском канале при задании начального возмущения. Возможные трехмерные структуры детонационных ячеек. Спиновая детонация как предел ячеистой, когда размер одной ячейки становится сравнимым с размером трубы. Связь неустойчивости плоского одномерного фронта с ячеистой структурой в многомерном случае. Модель Коробейникова-Левина-Маркова-Черного
Вычислительное моделирование переходных процессов при развитии детонации в каналах сложной геометрии, содержащих более широкие каверны различных диаметров. Промотирование и ингибирование переходных процессов с помощью геометрических характеристик, температуры и состава исходной смеси.
Возникновение режимов низкоскоростной детонации и быстрого горения. Применение управляемой детонации в детонационных двигателях различных типов. Пульсирующие детонационные устройства.
Моделирование процессов горения в камере ракетного двигателя на многопроцессорных супер-ЭВМ. Накопление ошибок при решении нестационарных задач. Сравнительный анализ результатов, полученных с помощью различных вычислительных пакетов и данных экспериментов.
Понятие о детонации в гетерогенных системах.

Общий обзор научно- технических вопросов, в которых применяются системы с гибкими связями. Обзор методов моделирования и расчета динамики подобных систем.
Дифференциальные уравнения в частных производными 2 порядка. Классификация.
Уравнения гиперболического типа. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач.
Модель идеальной растяжимой нити. Основные соотношения и уравне-ния. Волновое уравнение. Волны в идеальной растяжимой нити.
Характеристики. Слабые и сильные разрывы. Плоское автомодельное движение нити. Решение задачи о поперечном ударе по нити.
Система уравнений продольно-поперечных колебаний нити. Характеристики системы. Основные выражения.
Классическая задача Коши для одномерного волнового уравнения. Существование и единственность решения. Формула Даламбера. Физическая интерпретация.
Решение уравнения колебаний на полуограниченной прямой. Метод продолжений.
Промежуточная аттестация. Коллоквиум
Задачи для ограниченного отрезка.
Решение волновых уравнений методом разделения переменных. Уравнения свободных колебаний струны. Интерпретация решения.
Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн. Неоднородные уравнения..
Задачи о колебаниях нити с динамическим граничным условием. Анализ волновых и динамических процессов
Задачи о динамической размотке нити.
Задачи о движении точечной массы по нити.
Стабилизация систем с гибкими связями. Методы поиска условий стаби-лизации..
Численные методы, применяемые для решения задач колебаний ни-тей/тросов. Построение сеток разбиения. Метод конечных разностей.
Решение смешанных задач.

Сфера применимости материалов курса (ракетно-космическая и авиационная техника, горное дело, экология, динамическая метеорология). Примеры.
Гипотеза сплошности. Понятие макроскопически малого объема. Понятия идеальной и вязкой жидкости. Интенсивные и экстенсивные параметры. Введение средних параметров. Скорости диффузии.
Закон изменения массы для многокомпонентной газовой смеси. Уравнение неразрывности для смеси в целом. Условие согласования. Вывод уравнений для подвижного и фиксированного объемов. Лагранжевы и Эйлеровы координаты.
Закон изменения количества движения в газах. Уравнения движения в интегральной и дифференциальной формах.
Уравнение изменения кинетической энергии (Теорема живых сил).
Закон энергии. Первое начало термодинамики. Уравнение изменения полной энергии в интегральной и дифференциальной форме для вязкого теплопроводного газа.
Необходимые сведения из термодинамики и кинетической теории газов (уравнение притока тепла, второе начало термодинамики, энтропия, энтальпия, удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме, модель совершенного газа, формула Майера, политропный газ, скорость звука, уравнение состояния газа при высоких температурах, определение коэффициентов вязкости и теплопроводности, длина свободного пробега).
Полная система уравнений неустановившегося движения вязкого теплопроводного газа в безразмерных переменных. Начальные и граничные условия. Физический смысл параметров подобия. Случаи, когда параметры подобия малы или велики. Течения с малыми дозвуковыми и большими сверхзвуковыми скоростями, с малыми и большими числами Рейнольдса.
Основы теории возмущений. Регулярные и нерегулярные возмущения. Внешние и внутренние разложения. Применение теории возмущений к уравнениям Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. Система уравнений для внешней области. Система уравнений для невязкого, нетеплопроводного газа. Вид системы для одномерных нестационарных течений и для стационарных трехмерных течений.
Система уравнений Навье-Стокса для внутренней области. Система уравнений пограничного слоя. Вывод уравнений пограничного слоя, данный Прандтлем. Условия сращивания. Граничные условия на поверхности невязкого, нетеплопроводного газа, условия для внешней границы пограничного слоя. Сведения о теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком как втором приближении теории возмущений.
Установившиеся движения невязкого, нетеплопроводного газа. Интеграл Бернулли. Число Маха. Максимальная и критическая скорости газа. Параметры торможения.
Трубки тока в установившемся течении, их форма при дозвуковом и сверхзвуковом режиме. Теория сопла Лаваля.
Движения с малыми возмущениями. Линеаризация уравнений нестационарного одномерного течения газа. Оператор Даламбера. Волновое уравнение и его решение.
Теория плоского крыла. Метод характеристик применительно к уравнениям одномерных нестационарных течений и уравнениям плоско-параллельных стационарных течений идеального нетеплопроводного газа. Характеристики, соотношения на характеристиках. Краевые задачи: задача Коши (с начальными данными), Гурса (с данными на характеристиках различных направлений), смешанная. Слабые разрывы.
Инварианты Римана. Точные решения для некоторых сред со специальными свойствами. Формула Адамара. Волны напряжений и деформаций в нелинейноупругих и пластических материалах.
Волны нагружения (Римана).Волна разгрузки. Критическая скорость удара. Условия зарождения ударной волны. Соотношения на ней.

Сфера применимости материалов курса (ракетно-космическая и авиационная техника, горное дело, экология, динамическая метеорология). Примеры.
Гипотеза сплошности. Понятие макроскопически малого объема. Понятия идеальной и вязкой жидкости. Интенсивные и экстенсивные параметры. Введение средних параметров. Скорости диффузии.
Закон изменения массы для многокомпонентной газовой смеси. Уравнение неразрывности для смеси в целом. Условие согласования. Вывод уравнений для подвижного и фиксированного объемов. Лагранжевы и Эйлеровы координаты.
Закон изменения количества движения в газах. Уравнения движения в интегральной и дифференциальной формах.
Уравнение изменения кинетической энергии (Теорема живых сил).
Закон энергии. Первое начало термодинамики. Уравнение изменения полной энергии в интегральной и дифференциальной форме для вязкого теплопроводного газа.
Необходимые сведения из термодинамики и кинетической теории газов (уравнение притока тепла, второе начало термодинамики, энтропия, энтальпия, удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме, модель совершенного газа, формула Майера, политропный газ, скорость звука, уравнение состояния газа при высоких температурах, определение коэффициентов вязкости и теплопроводности, длина свободного пробега).
Полная система уравнений неустановившегося движения вязкого теплопроводного газа в безразмерных переменных. Начальные и граничные условия. Физический смысл параметров подобия. Случаи, когда параметры подобия малы или велики. Течения с малыми дозвуковыми и большими сверхзвуковыми скоростями, с малыми и большими числами Рейнольдса.

Характеристика экономических показателей как случайных переменных. Методы идентификации экономических показателей по типу случайных переменных. Методологические вопросы статистического моделирования в экономике.
Статистические оценки характеристик случайных переменных. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок.
Процедура проверки статистических гипотез применительно к экономической информации.
Линейная однофакторная регрессионная модель. Методы оценки параметров. Классические примеры эконометрических моделей.
Показатели качества подгонки линейной модели. Остаточная дисперсия и коэффициент детерминации.
F-критерий для проверки существенности регрессионного уравнения.
Проверка существенности влияния факторов на результативную переменную на основе t-критерия. Пошаговая регрессия.
Условия метода наименьших квадратов для получения «хороших» оценок.
Проблема гетероскедастичности и методы ее учета в регрессионных моделях
Критерий Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции. Методы учета автокорреляции в регрессионных моделях
Многофакторная регрессионная модель. Оценка параметров многофакторного регрессионного уравнения
Показатели качества многофакторной регрессионной модели.
Проблема мультиколлинеарности и методы ее учета в многофакторных регрессионных моделях.
Нелинейные регрессионные модели. Линеаризуемые регрессионные модели. Примеры нелинеаризуемых регрессионных моделей. Методы нелинейной оптимизации для оценки параметров регрессионных моделей
Направления прикладного применения эконометрических моделей. Этапы построения прикладных регрессионных моделей.
Прогнозирование на основе регрессионных моделей. Доверительный интервал прогнозов. Критерии выбора прогнозной модели: цели и горизонт прогнозирования, качество и полнота информации.
Трудности формализации процесса эконометрического моделирования. Реалистичное моделирование и принцип «черного ящика».

Математические свойства модели Затраты-Выпуск
Математические свойства технологической матрицы
Коэффициенты полных затрат (леонтьевские коэффициенты)
Иллюстративные расчеты коэффициентов полных затрат (на примере агрегированного МОБ РФ)
Типовые прикладные задачи модели Затраты-Выпуск
Оценка коэффициентов полных затрат ресурсов
Три сценария расчетов с экзогенным заданием значений выпусков и конечного спроса
Оценка межотраслевой зависимости цен и добавленной стоимости
Другие типовые задачи на основе модели МОБ
Прогнозирование технологической матрицы и важные коэффициенты прямых затрат
Статистические основы метода Затраты-Выпуск
Концептуальные элементы системы национальных счетов
Система таблиц Зтраты-Выпуск
Таблица ресурсов
Таблица использования
Переход в единые цены в таблицах ресурсов и использования
Переход в основные цены в таблице использования