[Кафедра высшей геометрии и топологии]

Алгебры Ли. Матричные алгебры Ли. Алгебры Ли векторных полей и
дифференциальные операторы. Структурные константы и тождество
Якоби. Многообразие алгебр Ли и орбиты действия группы GL(n).
Задача классификации алгебр Ли.
Подалгебра в алгебре Ли. Идеал. Простая алгебра Ли. Внешняя прямая сумма алгебр Ли.
Линейное представление алгебры Ли. Присоединенное представление.
Центр алгебры Ли. Дифференцирование алгебры Ли. Алгебра Ли дифференцирований.
Убывающий центральный ряд. Производный ряд. Нильпотентная алгебра Ли. Разрешимая алгебра Ли. Многообразия нильпотентных и разрешимых алгебр Ли.
Теорема Энгеля (идея доказательства). Критерий нильпотентности
алгебры Ли. Возрастающий центральный ряд.
Разрешимый радикал алгебры Ли. Свойства разрешимых идеалов алгебры Ли. Полупростая алгебра Ли. Теорема Ли (идея доказательства).
Коммутирующие операторы. Корневое разложение относительно коммутативной подалгебры
Свойства корневого разложения и достаточное условие полупростоты
алгебры Ли.
Симметрическая инвариантная билинейная форма на алгебре Ли. Идеал и его ортогональное дополнение. Форма Киллинга.
Критерий Картана разрешимости подалгебры в полной линейной алгебре Ли. Разложение Жордана линейного оператора. Существование
невырожденной инвариантной симметрической формы у полупростой
алгебры Ли.
Разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых алгебр.
Классические комплексные простые алгебры Ли.
Корневое разложение и инвариантная симметрическая билинейная форма. Связанные корни и достаточное условие простоты алгебры Ли.
Свойства корневого разложения sl(n, C).
Понятие торической подалгебры. Максимальный тор. Понятие картановской подалгебры. Максимальная нильпотентная подалгебра. Ранг алгебры Ли. Борелевская подалгебра простой алгебры Ли.
Конечномерные неприводимые представления алгебры Ли sl(2, C). Абстрактные системы корней и матрицы Картана. Примеры ранга два
Простые корни. Фундаментальная система корней. Положительные и отрицательные корни. Группа Вейля.
Схемы Дынкина и классификация простых комплексных алгебр Ли
Соотношения Серра. Понятие обобщенной матрицы Картана. Алгебры Каца-Муди и алгебры петель алгебры Ли. Простейшие примеры

Тензорная и внешняя алгебры.
Квадратичные формы.
Алгебры Клиффорда, периодичность Ботта.
Маломерные примеры спинорных представлений — спиноры Паули и
Дираĸа.
Модули над ĸольцами главных идеалов, Фробениусова форма линейного
оператора.
Квадратичные формы над ĸольцом целых чисел.
Квадратичные формы над на полем хараĸтеристиĸи 2, инвариант Арфа.

Функционал объёма. Первая вариация функционала объёма. Минимальные подмногобразия.
Вторая вариация функционала объёма, ее индекс.
Функционал энергии. Первая вариация функционала энергии. Гармонические отображения.
Вторая вариация функционала энергии, ее индекс.
Минимальные поверхности.
Гармонические отображения поверхностей. Гармоничность и голоморфность.
Связь с оператором Лапласа.
Формулы типа Бохнера.

Некоторые применения степени: сюръективность отображения ненулевой степени. Теорема Гаусса. Степень комплексного рационального отображения сферы в себя. Группа мебиусовых преобразований ; ее подгруппы SL(2, R) и SL(2, Z), образующие последней.
Индекс особой точки векторного поля и индекс неподвижной точки отображения. Примеры вычисления. Индекс критической точки градиентного векторного поля функции Морса.
Гауссово отображение подмногообразия коразмерности 1 в R^q. Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля в области с гладкой границей в R^q.
Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля на компактном гладком многообразии. Некоторые следствия.
Теорема о существовании поля с одной особой точкой на любом компактном многообразии. Существование полей без особых точек на многообразиях нечетной раз-
мерности.
Теорема Хопфа о деформации отображения межу двумя замкнутыми ориентируемыми многообразиями в отображение с числом прообразов равным степени отображения.
Теорема Хопфа о гомотопности отображений гладкого ориентируемого многообразия в сферу в сферу той же размерности.
Гомотопические группы. Определения, коммутативность операции, действие фундаментальной группы. Роль базисной точки.
Индуцированное отображение гомотопических групп. Группы накрытия. Гомотопические группы многообразий размерности 1 и 2.
Гомоморфизм Гуревича.
Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары. Одно применение : точная последовательность расслоения.
Пример применения (расслоение сферы над кватернионным проективным пространством)
Отображение надстройки. Теорема Фрейденталя.
Конструкция Понтрягина, оснащенный бордизм.
Теорема Понтрягина о гомотопии и оснащенной кобордантности. Гомологический инвариант оснащенных многообразий размерности 1 в сфере. Группа π_n+1(S^n).

Вводная лекция и иллюстрация методов дифференциальной топологии на примере доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке.
Ревизия теоремы Сарда-Дубовицкого и теоремы Уитни
Следствие теоремы Уитни : существование римановой метрики ; аппроксимация
непрерывного отображения между гладкими многообразиями гладким отображением.
Отступление : размерность Лебега-Чеха и объяснение универсальности размерности 2m + 1 в теореме Уитни.
Регулярная трубчатая окрестность подмногообразия в R^q. Доказательство теоремы аппроксимации. Гомотопность отображений достаточно близких к данному.
Функция расстояния до точки в R^q. Фокальные точки для подмногообразия. Определение функций Морса и их существование.
Индекс и дефект изолированой критической точки гладкой функции. Лемма Адамара и лемма Морса. Структура критических точек функций Морса.
Примеры функций Морса : на проективных пространствах. Возмущение гладкой фунции на подмногообразии с помощью линейной функции. Плотность функций Морсва в пространстве гладких функций.
Существование векторных полей с изолированными особыми точками.
Теорема Риба. Однопараметрические группы диффеоморфизмов и векторные поля.
Доказательство теоремы Риба.
Ориентация: определения и примеры. Эквивалентность различных определений
ориентируемости. Ориентируемость односвязных многообразий.
Ориентация многообразий с краем. Двулистное ориентирующее накрытие.
Степень отображения над Z. Независимость от выбора регулярного значения. Примеры.
Степень mod2. Кобордизмы, инвариантность степени кобордантных отображений. Общие свойства степени : инвариантность при гомотопии, степень композиции
отображений.

Симметрические степени топологических пространств. Косетные и бикосетные n-значные топологические группы. Полная ассоциативность n-значных групп.
Конструкция удвоения и косетные 2^{n-1}-значные топологические группы на сферах S^n.
Косетные 2^{n-1}-значные группы на RP^n для нечетных n.
Симметрические степени компактных римановых поверхностей.
Классификация В.М.Бухштабера-А.П.Веселова-А.А.Гайфуллина инволютивных двузначных групп.
Симметрические степени CW-комплексов: классическое вычисление фундаментальной группы.
nH-пространства. Инвариантность относительно ретракций. Гомотопическая инвариантность понятия nH-пространства.
n-гомоморфизмы градуированно коммутативных алгебр. Рекурсия Фробениуса. Сумма n-гомоморфизма и m-гомоморфизма есть (n+m)-гомоморфизм.
n-предалгебры Хопфа. Классификация Лере-Хопфа 1-предалгебр Хопфа (= предалгебр Хопфа) над полем нулевой характеристики.
Теорема о групповом трансфере для симплициальных действий конечных групп.
Рациональное кольцо когомологий симметрических степеней счетных CW-комплексов и лемма целочисленности Накаоки. Связь с n-гомоморфизмами.
Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами.
Наличие структуры nH-пространств на конечных СW-комплексах, имеющих совершенную фундаментальную группу.
Открытые вопросы.