[Кафедра высшей геометрии и топологии]

Риманова метрика, римановы многообразия, градиент, форма объёма, объём, существование римановой метрики, обратный образ метрики
Связность, ковариантное дифференцирование, символы Кристоффеля, преобразование символов Кристоффеля при замене базиса или координат, кручение связности
Симметрические связности, согласованные с метриками связности, Теорема Леви-Чивиты, связность Леви-Чивиты, подмногообразия римановых многообразий, связность Леви-Чивиты на подмногообразии, вторая квадратичная форма подмногообразия, деривационное уравнение Гаусса, оператор Вейнгартена, связность в нормальном расслоении, деривационное уравнение Вейнгартена
Тензор кривизны Римана, выражение через символы Кристоффеля, запись на языке матриц с элементами из дифференциальных форм, симметрии символов Кристоффеля
Симметрии тензора Римана, тензор Риччи, след билинейной формы с помощью метрики, скалярная кривизна, секционная кривизна, тензор Римана подмногообразия риманова многообразия, уравнение Гаусса, ковариантная производная тензорных полей
Ковариантная производная тензорных полей, уравнение Петерсона-Кодацци-Майнарди, гессиан функции
Дивергенция векторного поля, ковариантная производная тензоров в тензорных обозначениях, различные формулы для дивергенции, оператор Лапласа (Лапласа-Бельтрами)
Связь оператора Лапласа и гессиана, гармонические функции, параллельный перенос, уравнение параллельного переноса в разных формах, теорема существования и единственности для параллельного переноса, сохранение длин и углов при параллельном переносе, геодезическая и нормальная кривизна кривой на поверхности, геодезические, уравнение геодезических в разных формах, сохранение длины вектора скорости геодезических, теорема существования и единственности для геодезических, свойства геодезических
Экспоненциальное отображение на римановом многообразии и его свойства
Дифференциал экспоненциального отображения в нуле, теорема Уайтхеда о нормальной окрестности, геодезические координаты, полугеодезические координаты, геодезические сферы и шары, свойство геодезической быть локально кратчайшей, расстояние между точками на римановом многообразии, риманово многообразие как метрическое пространство, совпадение исходной топологии риманова многообразия и топологии, индуцированной структурой метрического пространства
Геодезическая полнота, кратчайшие кривые, соединяющие данные точки, теорема Хопфа-Ринова, полные римановы многообразия
Локально тривиальные расслоения, векторные локально тривиальные расслоения, сечения, морфизмы расслоений, склеивающие коциклы, операции с векторными расслоениями
Базис в сечениях векторого расслоения, эквивалентность тривиальности векторного расслоения и существования базиса в сечениях, ранг расслоения, факторраслоение, примеры векторных расслоений и их сечений, тензорные поля как сечения, обратный образ расслоения, применение обратного образа касательного расслоения в теории подмногообразий, векторные поля вдоль отображения, связности в векторных расслоениях, обратный образ связности, кривизна связности
Вариационный подход к геодезическим

Лемма Сарда. Трансверсальность.
Индекс пересечения. Индекс зацепления.
Лемма Морса. (Конечномерная) теория Морса.
Распределения векторных полпространств на многообразии. Интегрируемость. Теорема Фробениуса.

Основная конструкция торической топологии. Полиэдральная степень. Кубический комплекс простого многогранника.
Момент-угол-комплексы. Конструкция Дэвиса-Янушкевича.
Момент-угол многообразия.
Аддитивная структура в гомологиях и когомологиях момент-угол комплексов. Формула Хохстера.
Умножение в когомологиях момент-угол комплекса.
Мультиградиурованная двойственность Пуанкаре для момент-угол многообразий и двойственность Александера для полных подкомплексов.
Кольцо когомологий момент-угол многообразия простого многогранника.
Свободные действия подгрупп на момент-угол комплексах. Число Бухштабера.
Квазиторические многообразия и малые накрытия.
Когомологически жёсткие семейства многообразий. B-жёсткость и C-жёсткость простого многогранника.
Кольцо когомологий момент-угол многообразия простого трёхмерного флагового многогранника.
B-жёсткость многогранников Погорелова.
Геометризация трёхмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками трёхмерных многогранников.
Многообразия, определяемые несвободными действиями подгрупп Z_2^k на вещественном момент-угол многообразий.
Гиперэллиптические многообразия с геометрической структурой и гамильтоновы подкомплексы в границе многогранника.

Два описания выпуклого многогранника. Теорема Минковского-Вейля
Грани выпуклых многогранников.
Двойственный многогранник.
Шеллинговость выпуклых многогранников и формула Эйлера-Пуанкаре. Полиэдральные комплексы. Диаграммы Шлегеля.
Алгебра Хопфа комбинаторных выпуклых многогранников с операцией джойна. Операторы граней.
f-векторы простых многогранников. Соотношения Дена-Соммервилля. Формулировка теорем о верхней и нижней границах чисел граней простых n-мерных многогранников с фиксированным числом гиперграней. Формулировка g-теоремы.
Флаговые векторы выпуклых многогранников. Соотношения Байер-Биллеры.
Многогранный конус. Два способа описания.
Понятие веера. Нормальный веер выпуклого многогранника.
Сумма Минковского множеств. Многогранники Ньютона.
Производящие множества и нестоэдры.
Диаграммы Гейла выпуклых многогранников. Многогранники с малым числом граней.
Графы многогранников. Теорема Штейница о характеризации графов трёхмерных многогранников. Медиальные графы.
Прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского. Формулировка теоремы Андреева. Вывод теоремы Кёбе-Андреева-Тёрстона о реализации трёхмерного многогранника
Фуллерены. Фуллерены и 7-диск-фуллерены как прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского.
Построение семейств трёхмерных многогранников при помощи операций: фуллерены и многогранники Погорелова. Теорема Т.Иное об увеличении гиперболического объёма при операции (идея доказательства).

Лагранжев и гамильтонов формализм
Симплектические и пуассоновы многообразия
Теорема Лиувилля-Арнольда, интегрируемость по Лиувиллю
Примеры интегрируемых систем классической механики
Цепочка Тоды и ее интегрируемость
Рациональная система Калоджеро-Мозера и ее интегрируемость
Бигамильтоновы системы
Одевающая цепочка Веселова-Шабата и ее интегрируемость
Интегрируемость по Дарбу гиперболических уравнений
Трехмерно совместные системы на квад-графах

Когомологии
Теория препятствий
Расслоения и спектральные последовательности
Когомологические операции

Топологические пространства, конструкции
Накрытия и гомотопические группы
Симплициальные и сингулярные гомологии
Когомологии