[Кафедра высшей алгебры]

Данный полугодовой спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов является продолжением спецкурса "Алгебры Хопфа (введение)".

Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом и другими понятия «квантовой группы». (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. (Ко)действия алгебры Хопфа на алгебрах можно интерпретировать как «квантовые симметрии» некоторых необязательно коммутатативных многообразий. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в самых различных областях алгебры, топологии, геометрии, комбинаторики, функционального анализа и теоретической физики.

Страница спецкурса на сайте кафедры: https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/s_k_hopf_algebras_2026_2027

Страница спецкурса на Google-сайтах: https://sites.google.com/view/alexey-sergeevich/20262027-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B-%D1%85%D0%BE%D0%BF%D1%84%D0%B0

Полугодовой спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом и другими понятия «квантовой группы». (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. (Ко)действия алгебры Хопфа на алгебрах можно интерпретировать как «квантовые симметрии» некоторых необязательно коммутатативных многообразий. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в самых различных областях алгебры, топологии, геометрии, комбинаторики, функционального анализа и теоретической физики.

Страница спецкурса на сайте кафедры: https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/s_k_hopf_algebras_2026_2027

Страница спецкурса на Google-сайтах: https://sites.google.com/view/alexey-sergeevich/20262027-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B-%D1%85%D0%BE%D0%BF%D1%84%D0%B0

Квантовые группы были введены в 1980-е годы независимо В.Г. Дринфельдом, М. Джимбо и С.Л. Вороновичем. Они являются не(ко)коммутативными алгебрами Хопфа, к которым с точки зрения некоммутативной геометрии можно относиться либо как к алгебрам регулярных функций, либо как к универсальным обёртывающим алгебр Ли некоторых "групп", которые являются "некоммутативными пространствами". Также квантовые группы являются наиболее подходящими алгебраическими структурами, которые действуют на некоммутативных пространствах квантовыми симметриями. Квантовые группы дают решения квантового уравнения Янга-Бакстера, применяются в маломерной топологии и конформной теории поля. В спецкурсе будет дано краткое введение в алгебры Хопфа и рассмотрены основные конструкции квантовых групп.

Страница спецкурса на сайте кафедры: https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/s_k_quantum_groups_winter_2026

Зеркало на Google-сайтах: https://sites.google.com/view/alexey-sergeevich/20252026-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5-%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B