Курс алгебры 1 и 3 семестров и линейной алгебры 2 семестра
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс на английском языке
Учебный год
2024/25
Список тем
Повторение элементов теории групп 3 семестра: действия групп на множествах, их применения, теоремы Силова. Групповые конструкции.
Некоторые классы конечных групп: нильпотентные, разрешимые, сверхазрешимые. Теоремы Ф. Холла для разрешимых групп.
Основы теории представлений групп и алгебр.
Теория характеров конечных групп.
Применения теории характеров для доказательства теорем: о делимости порядка группы на степень неприводимого комплексного представления; Бернсайда о разрешимости бипримарных групп; о существовании ядра в группе Фробениуса.
Список источников
1. Gorenstein D. Finite groups.- Chelsea, 1980.
2. Isaacs I.M. Finite group theory. - AMS, 2008.
3. Isaacs I.M. Character theory of finite groups. - Academic Press, 1976.
4. Kargapolov M.I., Merzliakov Yu.I. Fundamentals of the theory of groups. - Springer, 1979.
5. Vinberg E.B. Linear representations of groups.- Birkhauser, 1989.
Algebraic foundations of coding theory and linear recurrent sequences
Авторы курса
Маркова Ольга Викторовна
Пререквизиты
материал курсов Алгебры 1, 3 семестра и Линейной алгебры
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Курс научно-естественного содержания
Учебный год
2024/25
Список тем
Основные параметры кодов и связывающие их оценки.
Изометрические преобразования пространства Хэмминга. Теорема А.А. Маркова. Теорема Мак-Вильямс о продолжении изометрий линейных кодов.
Линейные коды. Проверочная матрица, гарантируемый ранг и расстояние линейного кода над полем.
Построение новых кодов из заданных: добавление констант, добавление проверки на чётность, расширение кода, декартово произведение кодов, тензорное произведение кодов, гибридный код, увеличение размерности с сохранением расстояния, уменьшение длины кода. Двойственные коды.
Основные понятия теории колец и модулей. Локальные кольца. Разложение конечного коммутативного кольца в прямую сумму локальных колец. Аннуляторы идеала в модуле и подмодуля в кольце. Радикал Джекобсона конечного коммутативного кольца и цоколь модуля, связь между ними.
Модуль характеров конечного модуля. Инъективные модули. Критерий Бэра. Инъективность модуля характеров. Квазифробениусов модуль, существование и единственность с точностью до изоморфизма. Характеризация квазифробениусовых модулей с помощью различающих характеров.
Коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем. Общая весовая функция линейного кода над кольцом и над модулем. Тождество Мак-Вильямс для линейных кодов над кольцом и над квазифробениусовым модулем.
Пространство последовательностей над кольцом как модуль над кольцом многочленов. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Порождающие элементы модуля ЛРП.
Минимальный многочлен ЛРП над полем и его свойства. Аннулятор ЛРП. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами.
Общие свойства и параметры периодических последовательностей. Периодичность ЛРП над конечным кольцом. Периоды многочленов и ЛРП над полем. Вычисление периода неприводимого многочлена и произвольного многочлена над полем по его каноническому разложению. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем.
Список источников
1. В.Л. Куракин, А.А. Нечаев. Линейные коды и полилинейные рекурренты.
2. М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. Алгебра, т. 1,2. Изд. «Гелиос АРВ», М., 2003.
3. А.А. Нечаев. Конечные квазифробениусовы модули, приложения к кодам и линейным рекуррентам// Фундаментальная и прикладная математика, 1995, Т.1, № 1, 229-254.
4. Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля, т. 1,2. Изд. «Мир», М., 1988.
Знание базовых понятий дифференциальной геометрии и теории групп.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Группы и алгебры Ли, связь между ними.
Экспоненциальное отображение.
Действия групп Ли на многообразиях, однородные пространства.
Топологическая структура групп Ли: группа компонент, односвязная накрывающая, фундаментальная группа.
Гомоморфизмы групп Ли, интегрирование гомоморфизмов алгебр Ли.
Линейные представления групп и алгебр Ли, присоединённое представление.
Разрешимые и полупростые группы и алгебры Ли.
Список источников
Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., Наука, 1988.
Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. М., Мир, 1969.
Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М., Бибфизмат, 1987.
День недели
понедельник
Время
10:45-12:20
Аудитория
1414
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1414
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Знание базовых понятий и фактов алгебраической геометрии
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Алгебраические группы.
Касательная алгебра Ли.
Алгебраические торы и квазиторы, разрешимые и унипотентные группы.
Линейные представления алгебраических групп.
Редуктивные группы.
Рациональные и регулярные инварианты.
Категорный фактор.
Классическая теория инвариантов.
Список источников
Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., Наука, 1988.
Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М., Наука, 1980.
Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.55. М., ВИНИТИ, 1989.
Крафт Х. Геометрические методы в теории инвариантов. М., Мир, 1987.
Дьедонне Ж., Кэролл Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М., Мир, 1974.
Спрингер Т.А. Теория инвариантов. М., Мир, 1981.
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
1405
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1405
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Машина Тьюринга.
Существование не алгоритмически разрешимой проблемы.
Задание полугруппы образующими и соотношениями. Задание группы образующими и соотношениями. Алгоритм проверки равенства слов в свободной группе.
Не разрешимость массовой проблемы равенства слов в полугруппах.
Схемы симплификации. Нормальная и каноническая форма элемента. 5 эквивалентных условий для схемы симплификация (одно из которых — условие канонизации).
Линейные схемы симплификации. Разложение подпространства элементов, имеющих каноническую форму, в прямую сумму подпространства нормальных элементов и подпространства элементов с нулевой канонической формой.
Пример линейной схемы симплификации: определение порядка на элементах, если задан порядок на базисных элементах. Редукции.
Шесть эквивалентных свойств для примера линейной схемы симплификации (одно из которых — свойство канонизации).
Лемма Диксона.
Мономиальные порядки. Условие минимальности. Примеры порядков. Утверждение о том, как устроены все мономиальные порядки (без доказательства).
Элементарная редукция. Редукция по системе полиномов. Остаток. Отсутствие бесконечных цепочек редукций. Система Грёбнера.
Нётеровы кольца (эквивалентные определения). Теорема Гильберта о базисе.
Базис Грёбнера. Критерий Бухбергера.
Алгоритм Бухбергера. Характеризация базиса Грёбнера в терминах старших членов.
Проблема вхождения элемента в идеал. Минимальный редуцированный базис Грёбнера. Проблема равенства идеалов.
Пересечение идеала с подкольцом многочленов от некоторых переменных.
Пересечение идеалов.
Лемма о достраивании корня.
Лемма о промежуточной замене.
Алгоритм решения полиномиальной системы.
Теорема Гильберта о нулях (слабая и сильная формулировки).
Проверка того, что данный многочлен принадлежит радикалу данного идеала.
Рост алгебры. Инвариантность количества параметров при решении полиномиальной системы.
Универсальный базис Грёбнера.
Список источников
Д. Кокс, Дж. Литтл, О'Ши "Идеалы, многообразия и алгоритмы", М. Мир, 2000.
В.Н. Латышев "Комбинаторная теория колец, стандартные базисы", изд. МГУ, 1988.
И.В. Аржанцев "Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера", Москва, Макс Пресс, 2002.
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
1402
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1402
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
