Прикладные вопросы алгебры

Название спецкурса на английском языке
Applied topics of algebra
Авторы курса
Гайфуллин Сергей Александрович
Пререквизиты
Стандартный курс алгебры в объёме 3 семестров
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Машина Тьюринга.
Существование не алгоритмически разрешимой проблемы.
Задание полугруппы образующими и соотношениями. Задание группы образующими и соотношениями. Алгоритм проверки равенства слов в свободной группе.
Не разрешимость массовой проблемы равенства слов в полугруппах.
Схемы симплификации. Нормальная и каноническая форма элемента. 5 эквивалентных условий для схемы симплификация (одно из которых — условие канонизации).
Линейные схемы симплификации. Разложение подпространства элементов, имеющих каноническую форму, в прямую сумму подпространства нормальных элементов и подпространства элементов с нулевой канонической формой.
Пример линейной схемы симплификации: определение порядка на элементах, если задан порядок на базисных элементах. Редукции.
Шесть эквивалентных свойств для примера линейной схемы симплификации (одно из которых — свойство канонизации).
Лемма Диксона.
Мономиальные порядки. Условие минимальности. Примеры порядков. Утверждение о том, как устроены все мономиальные порядки (без доказательства).
Элементарная редукция. Редукция по системе полиномов. Остаток. Отсутствие бесконечных цепочек редукций. Система Грёбнера.
Нётеровы кольца (эквивалентные определения). Теорема Гильберта о базисе.
Базис Грёбнера. Критерий Бухбергера.
Алгоритм Бухбергера. Характеризация базиса Грёбнера в терминах старших членов.
Проблема вхождения элемента в идеал. Минимальный редуцированный базис Грёбнера. Проблема равенства идеалов.
Пересечение идеала с подкольцом многочленов от некоторых переменных.
Пересечение идеалов.
Лемма о достраивании корня.
Лемма о промежуточной замене.
Алгоритм решения полиномиальной системы.
Теорема Гильберта о нулях (слабая и сильная формулировки).
Проверка того, что данный многочлен принадлежит радикалу данного идеала.
Рост алгебры. Инвариантность количества параметров при решении полиномиальной системы.
Универсальный базис Грёбнера.
Список источников
Д. Кокс, Дж. Литтл, О'Ши "Идеалы, многообразия и алгоритмы", М. Мир, 2000.
В.Н. Латышев "Комбинаторная теория колец, стандартные базисы", изд. МГУ, 1988.
И.В. Аржанцев "Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера", Москва, Макс Пресс, 2002.
День недели
понедельник
Время
18:30-20:05
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Коммутативная алгебра

Название спецкурса на английском языке
Commutative algebra
Авторы курса
Гайфуллин Сергей Александрович
Пререквизиты
Стандартный курс алгебры 3 семестра.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Локализация. Кольца и модули конечной длины.
Ассоциированные простые идеалы. Примерное разложение. Факториальность.
Целая зависимость и целые расширения. Лемма Накаяма. Простые идеалы в целом расширении. Теорема Гильберта о нулях.
Фильтрации. Ассоциированное градуированное кольцо. Теорема Крулля о пересечении. Касательный конус.
Плоские модули. Функтор Tor.
Пополнения. Лемма Генделя.
Аксиомы размерности. Обсуждение свойств размерности.
Размерность по Круллю. Многочлен Гильберта.
Лемма Нётер о нормализации. Система параметров.
Размерность и коразмерность один. Обратимые модули и группа классов дивизоров.
Дедекиндовы области.
Многочлены Гильберта-Самюэля.
Размерность аффинных колец.
Теория исключения. Размерность слоёв.
Список источников
М. Атья, И. Макдональд. "Введение в коммутативную алгебру". Издательство "Мир", Москва 1972.
Д. Айзенбад. "Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию". Издательство МЦНМО, Москва 2017.
Н. Бурлаки. "Коммутативная алгебра". Издательство "Мир", Москва 1971.
Дополнительная информация

Курс будет посвящён основам коммутативной алгебры. Коммутативная алгебра -- базовая отрасль математики интересная как сама по себе так и как основание других областей, например, алгебраической геометрии. Существует целый ряд ставших классическими книг по данной тематике. В рамках данного курса мы дадим систематическое изложение базы коммутативной алгебры, приводя в том числе геометрические примеры. Надеюсь, что данный курс вызовет интерес у студентов и будет продолжен и в весеннем семестре, в котором будут рассказаны более специальные разделы.

День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
1205
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1205
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Дополнительные главы алгебры. Теория Галуа

Название спецкурса на английском языке
Additional chapters of algebra. Galuis theory.
Авторы курса
Шафаревич Антон Андреевич
Пререквизиты
Знание алгебры и линейной алгебры в объеме 1-2 курса
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Расширение полей. Нормальные и сепарабельные расширения.
Расширения Галуа. Группа Галуа. Основная теорема Галуа.
Теорема Абеля о неразрешимости уравнений пятой степени в радикалах.
Список источников
D.Dummit, R.Foote, Abstract algerba.
Э.Б. Винберг, "Курс алгебры".
И.Р. Шафаревич, "Основные понятия алгебры".
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1207
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Алгебры Ли

Название спецкурса на английском языке
Lie algebras
Авторы курса
Гордиенко Алексей Сергеевич
Пререквизиты
Общие курсы алгебры 1-го и 3-го семестра, а также линейной алгебры и геометрии 2-го семестра, прочитанные на 1-м и 2-м потоках отделения математики. Знание тем осеннего семестра не является обязательным.
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Теорема Энгеля
Теорема Ли
Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли
Разрешимый и нильпотентный радикал
Форма Киллинга
Полупростые алгебры Ли
Критерий Картана
Когомологии алгебр Ли
Лемма Уайтхэда
Теорема Леви-Мальцева
Универсальные обёртывающие алгебры
Теорема Пуанкаре- Биркгофа-Витта
Системы корней
Диаграммы Дынкина
Классификация конечномерных комплексных простых алгебр Ли
Веса
Модули над алгебрами Ли
Список источников
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.
Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.
Weibel, C.A. Introduction to homological algebra.
Дополнительная информация

Данный полугодовой спецкурс является независимой частью годового спецкурса "Кольца и алгебры", таким образом знание тем осеннего семестра не является обязательным.

Страница спецкурса на сайте кафедры: https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/s_k_rings_and_algebras_2025_2026

Зеркало страницы спецкурса на Google-сайтах: https://sites.google.com/view/alexey-sergeevich/20252026-%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0-%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B

День недели
понедельник
Время
18:30-20:05
Аудитория
1408
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1408
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Ассоциативные кольца

Название спецкурса на английском языке
Associative rings
Авторы курса
Гордиенко Алексей Сергеевич
Пререквизиты
На каждой лекции данного спецкурса предполагается известным всё, что на текущий момент прошли на 1-м и 2-м потоке 2-го курса отделения математики в общем курсе алгебры, а также линейной алгебры и геометрии.
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Модули над кольцами
Артиновы кольца
Радикал Джекобсона
Простые и полупростые кольца
Теорема плотности
Теорема Веддербёрна-Артина
Когомологии Хохшильда
Теорема Веддербёрна-Мальцева
Функтор Ext
Глобальная размерность
Список источников
Херстейн И. Некоммутативные кольца.
Пирс Р. Ассоциативные алгебры.
Weibel, C.A. Introduction to homological algebra.
Дополнительная информация

Данный полугодовой спецкурс является частью годового спецкурса "Кольца и алгебры". Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики. В осеннем семестре спецкурс называется «Ассоциативные кольца» и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй. Весенний семестр будет посвящён алгебрам Ли.

Страница спецкурса на сайте кафедры: https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/s_k_rings_and_algebras_2025_2026

Зеркало страницы спецкурса на Google-сайтах: https://sites.google.com/view/alexey-sergeevich/20252026-%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0-%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B

День недели
понедельник
Время
18:30-20:05
Аудитория
1408
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1408
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Дополнительные главы алгебры (Нетеровы кольца)

Название спецкурса на английском языке
Additional chapters of algebra (Noetherian rings)
Авторы курса
Шафаревич Антон Андреевич
Пререквизиты
Знание стандартного курса алгебры.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Нетеровы кольца.
Кольца главных идеалов.
Модули.
Локализации колец и модулей.
Примарное разложение.
Список источников
Dummit, Foote "Abstract algebra"
Лэнг, "Алгебра"
Ван-дер-Варден, "Алгебра"
Винберг, "Курс алгебры"
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
407
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Конечные группы и их представления

Название спецкурса на английском языке
Finite groups and their representations
Авторы курса
Чубаров Игорь Андреевич
Пререквизиты
Курс алгебры 1 и 3 семестров и линейной алгебры 2 семестра
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс на английском языке
Учебный год
2024/25
Список тем
Повторение элементов теории групп 3 семестра: действия групп на множествах, их применения, теоремы Силова. Групповые конструкции.
Некоторые классы конечных групп: нильпотентные, разрешимые, сверхазрешимые. Теоремы Ф. Холла для разрешимых групп.
Основы теории представлений групп и алгебр.
Теория характеров конечных групп.
Применения теории характеров для доказательства теорем: о делимости порядка группы на степень неприводимого комплексного представления; Бернсайда о разрешимости бипримарных групп; о существовании ядра в группе Фробениуса. 
Список источников
1. Gorenstein D. Finite groups.- Chelsea, 1980.
2. Isaacs I.M. Finite group theory. - AMS, 2008.                                                                          
3. Isaacs I.M. Character theory of finite groups. - Academic Press, 1976.
4. Kargapolov M.I., Merzliakov Yu.I. Fundamentals of the theory of groups. - Springer, 1979.
5. Vinberg E.B. Linear representations of groups.- Birkhauser, 1989.
Дополнительная информация

Для 5 курса математиков и экономического потока

День недели
пятница
Время
12:30-14:05
Аудитория
407
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
407

Алгебраические основы теории кодов и линейных рекуррентных последовательностей

Название спецкурса на английском языке
Algebraic foundations of coding theory and linear recurrent sequences
Авторы курса
Маркова Ольга Викторовна
Пререквизиты
материал курсов Алгебры 1, 3 семестра и Линейной алгебры
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Курс научно-естественного содержания
Учебный год
2024/25
Список тем
Основные параметры кодов и связывающие их оценки.
Изометрические преобразования пространства Хэмминга. Теорема А.А. Маркова. Теорема Мак-Вильямс о продолжении изометрий линейных кодов.
Линейные коды. Проверочная матрица, гарантируемый ранг и расстояние линейного кода над полем.
Построение новых кодов из заданных: добавление констант, добавление проверки на чётность, расширение кода, декартово произведение кодов, тензорное произведение кодов, гибридный код, увеличение размерности с сохранением расстояния, уменьшение длины кода. Двойственные коды.
Основные понятия теории колец и модулей. Локальные кольца. Разложение конечного коммутативного кольца в прямую сумму локальных колец. Аннуляторы идеала в модуле и подмодуля в кольце. Радикал Джекобсона конечного коммутативного кольца и цоколь модуля, связь между ними.
Модуль характеров конечного модуля. Инъективные модули. Критерий Бэра. Инъективность модуля характеров. Квазифробениусов модуль, существование и единственность с точностью до изоморфизма. Характеризация квазифробениусовых модулей с помощью различающих характеров.
Коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем. Общая весовая функция линейного кода над кольцом и над модулем. Тождество Мак-Вильямс для линейных кодов над кольцом и над квазифробениусовым модулем.
Пространство последовательностей над кольцом как модуль над кольцом многочленов. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Порождающие элементы модуля ЛРП.
Минимальный многочлен ЛРП над полем и его свойства. Аннулятор ЛРП. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами.
Общие свойства и параметры периодических последовательностей. Периодичность ЛРП над конечным кольцом. Периоды многочленов и ЛРП над полем. Вычисление периода неприводимого многочлена и произвольного многочлена над полем по его каноническому разложению. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем. 
Список источников
1. В.Л. Куракин, А.А. Нечаев. Линейные коды и полилинейные рекурренты.
2. М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. Алгебра, т. 1,2. Изд. «Гелиос АРВ», М., 2003.
3. А.А. Нечаев. Конечные квазифробениусовы модули, приложения к кодам и линейным рекуррентам// Фундаментальная и прикладная математика, 1995, Т.1, № 1, 229-254.
4. Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля, т. 1,2. Изд. «Мир», М., 1988. 
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
433
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
433
Подписаться на [Кафедра высшей алгебры]