[Кафедра высшей алгебры]

Графы Кэли
Свободные группы
Копредставления
Свободные конструкции
Диаграммы

Группы и алгебры Ли, связь между ними.
Экспоненциальное отображение.
Действия групп Ли на многообразиях, однородные пространства.
Топологическая структура групп Ли: группа компонент, односвязная накрывающая, фундаментальная группа.
Гомоморфизмы групп Ли, интегрирование гомоморфизмов алгебр Ли.
Линейные представления групп и алгебр Ли, присоединённое представление.
Разрешимые и полупростые группы и алгебры Ли.

Алгебраические группы.
Касательная алгебра Ли.
Алгебраические торы и квазиторы, разрешимые и унипотентные группы.
Линейные представления алгебраических групп.
Редуктивные группы.
Рациональные и регулярные инварианты.
Категорный фактор.
Классическая теория инвариантов.

Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Машина Тьюринга.
Существование не алгоритмически разрешимой проблемы.
Задание полугруппы образующими и соотношениями. Задание группы образующими и соотношениями. Алгоритм проверки равенства слов в свободной группе.
Не разрешимость массовой проблемы равенства слов в полугруппах.
Схемы симплификации. Нормальная и каноническая форма элемента. 5 эквивалентных условий для схемы симплификация (одно из которых — условие канонизации).
Линейные схемы симплификации. Разложение подпространства элементов, имеющих каноническую форму, в прямую сумму подпространства нормальных элементов и подпространства элементов с нулевой канонической формой.
Пример линейной схемы симплификации: определение порядка на элементах, если задан порядок на базисных элементах. Редукции.
Шесть эквивалентных свойств для примера линейной схемы симплификации (одно из которых — свойство канонизации).
Лемма Диксона.
Мономиальные порядки. Условие минимальности. Примеры порядков. Утверждение о том, как устроены все мономиальные порядки (без доказательства).
Элементарная редукция. Редукция по системе полиномов. Остаток. Отсутствие бесконечных цепочек редукций. Система Грёбнера.
Нётеровы кольца (эквивалентные определения). Теорема Гильберта о базисе.
Базис Грёбнера. Критерий Бухбергера.
Алгоритм Бухбергера. Характеризация базиса Грёбнера в терминах старших членов.
Проблема вхождения элемента в идеал. Минимальный редуцированный базис Грёбнера. Проблема равенства идеалов.
Пересечение идеала с подкольцом многочленов от некоторых переменных.
Пересечение идеалов.
Лемма о достраивании корня.
Лемма о промежуточной замене.
Алгоритм решения полиномиальной системы.
Теорема Гильберта о нулях (слабая и сильная формулировки).
Проверка того, что данный многочлен принадлежит радикалу данного идеала.
Рост алгебры. Инвариантность количества параметров при решении полиномиальной системы.
Универсальный базис Грёбнера.

Нетеровы кольца.
Кольца главных идеалов.
Модули.
Теория Галуа.

Нетеровы кольца.
Кольца главных идеалов.
Модули.
Теория Галуа.
Теорема Нильсена-Шрайера.
Основы гомологической алгебры.
Конечномерные алгебры.

Алгебраические многообразия: аффинные, общие, полные, проективные.
Топология Зарисского.
Рациональные и регулярные функции, морфизмы и рациональные отображения.
Размерность алгебраических многообразий.
Касательные пространства, гладкие и особые точки.